sigma-algebra, messbarer Raum

26.06.2011, 00:35	kleeblatt	Auf diesen Beitrag antworten »
sigma-algebra, messbarer Raum Es seien $\begin{eqnarray} (E, \epsilon) \end{eqnarray}$ ein messbarer Raum und A eine Teilmenge von E mit $\begin{eqnarray} \epsilon_{A}:=\epsilon \cap A=(B \cap A \| B \in \epsilon) \end{eqnarray}$ werde die Spur von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ auf A bezeichnet . Beweisen Sie: a) das Mengensystem $\begin{eqnarray} \epsilon_{A} \end{eqnarray}$ ist eine sigma-algebra von Teilmengen von A. Außerdem gibt es noch einen Hinweis: Man definiere eine Abbildung H von A in E durch $\begin{eqnarray} H(x)= x, x \in A \end{eqnarray}$ Soo, ich hoffe ich interpretiere das richtig: Diese Spur sigma-algebra enthält alle Teilmengen von E in denen auch A enthalten ist, sowie die Menge $\begin{eqnarray} A \cap E \end{eqnarray}$ ?! Sei $\begin{eqnarray} E'= A \cap E \in \epsilon_{A} \end{eqnarray}$ . Das muss gelten, oder ?! Also ist die "ganze Menge" schonmal enthalten. $\begin{eqnarray} \bigcup A_{k} \in \epsilon \end{eqnarray}$ , da aber alle $\begin{eqnarray} A_{k} \cap B \end{eqnarray}$ entweder in $\begin{eqnarray} \epsilon_{A} \end{eqnarray}$ liegen oder die leere Menge ergeben (welche ja auch in der sigma-algebra sein muss), gilt doch, dass diese Vereinigung auch immer $\begin{eqnarray} \in \epsilon_{A} \end{eqnarray}$ . Jetzt fehlt noch das Komplement: $\begin{eqnarray} A^{c} \end{eqnarray}$ = E' ohne A, da A und E in der sigma Algebra enthalten sind und muss auch diese Differenz enthalten sein?!? Ein anderer Weg (mit Hilfe des Hinweises): Hier geht es doch darum, dass das Urbild der Spur sigma-algebra, gleich der "ursprünglichen" sigma algebra ist. Und demnach auch eine sigma-algebra ist. Die Abbildung von H(x)=x bildet doch in den selben Raum ab, da A Teilmenge von E ist?! Also, $\begin{eqnarray} H^{-1}(B)= A \cap B \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} B \subseteq A \end{eqnarray}$ und sonst ist es die leere Menge. $\begin{eqnarray} H^{-1}(E')= A \cap E \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} E'= A \cap E \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sigma(H^{-1}(E'))=\epsilon_{A} \end{eqnarray}$ Geht das so? Beide Wege? Ich studiere nicht Mathe muss aber einen Schein in Maßtheorie belegen. Vielen Dank!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »