Integralrechnung: Gleichungen mit 2 Unbekannten gleichsetzen!

26.06.2011, 12:29

Mario2223

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Integralrechnung: Gleichungen mit 2 Unbekannten gleichsetzen!

Meine Frage:
Hallo,

es dreht sich im nur um einige grundlegende Gleichsetzungsregeln die ich nicht beherrsche.

Folgendes ist die Aufgabe:

Um die Wasserstände eines Flusses vorherzusagen, kann man versuchen, die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers an einer bestimmten Stelle eines Flusses, mit Hilfe einer geeigneten Funktion zu beschreiben.

Die Durchflussgeschwindigkeit ist nährungsweise mit der Funktionsschar :

f(t)=1/4*t^3 - a*t^2 + a^2*t

beschrieben!

Aufgabe: Betrachen Sie nun 2 verschiedene Fubktionen fa1 und fa2 und bestimmen die den Zeitpunkt t0, zu dem beide Funktionsannahmen (seit t=0) genau gleich viel Wasser durch den Fluss geflossen wäre.

Meine Ideen:
So t ist die Zeit und f(t) ist die Durchflussgeschwindigkeit des Wassers, demnach ist die Menge des Wassers F(t). Also habe ich die Funktion aufgeleitet, heraus kam:

1/16t^4 - a*1/3*t^3 + a^2*1/2t^2

Der nächste Schritt wäre, die verschiedenen a`s einzusetzen also a1 und a2 und gleichzusetzen: (ich habe mich entschieden a1=y und a2 = z zu nennen, der Übersichtlichkeit wegen.

1/16t^4 - y*1/3*t^3 + y^2*1/2t^2 = 1/16t^4 - z*1/3*t^3 + z^2*1/2t^2

so und hier gehe ich gnadenlos vor die Hunde ich habe keine Idee wie ich das machen soll, ich versuche die z und y auf eine seite zu bringen und das t auf die andere.... aber ich scheitere dabei total.... das Einzige was ich weiß, ist dass ich die 1/16t^4 auf beiden seiten wegstreichen kann.... aber danach kommt nur noch unbegrenztes Nichtwissen

ich hoffe auf schnelle Hilfe , Gruß

26.06.2011, 16:39

opi

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Deine bisherigen Berechnungen stimmen.

Meine Empfehlung: alles auf eine Seite bringen und t² ausklammern, danach kannst Du Dich um den Inhalt der Klammer kümmern.

26.06.2011, 19:10

Autodidakt85

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(Sorry musste mich neu regestrieren)

1/16t^4 - y*1/3*t^3 + y^2*1/2t^2 = 1/16t^4 - z*1/3*t^3 + z^2*1/2t^2 | - 1/16t^4

- y*1/3*t^3 + y^2*1/2t^2 = - z*1/3*t^3 + z^2*1/2t^2

Wenn ich das richtig verstehe kann ich diesen Schritt machen weil, von beiden Teilen die gleiche Summe abgezogen würde, von daher ist 1/16t^4 unerheblich und kann weggekürzt werden.

- y*1/3*t^3 + y^2*1/2t^2 = - z*1/3*t^3 + z^2*1/2t^2 | (t^2)

t^2 =0 |- y*1/3*t + y^2*1/2 = - z*1/3*t + z^2*1/2

So das kann ich tun da jeder der Faktoren ein t^2 enthält, als auch im gleichen Verhältnis vergrößert wird ... daher auch unerheblich

- y*1/3*t + y^2*1/2 = - z*1/3*t + z^2*1/2

So und hab hier weiß ich einfach nicht mehr weiter, ich bräuchte Erläuterung der Rechenschritte, also den Rechenschritt und die Begründung warum es mathematisch so gemacht werden muss.

26.06.2011, 19:35

opi

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So ganz unerheblich ist t² nicht, da es immerhin die Lösung t=0 liefert. (Die uns bei dieser Aufgabe aber nicht interessiert.)

Wenn Du nun nach t auflösen möchtest, mußt Du alle Produkte mit Faktor t auf eine Seite bringen, alle ohne t auf die andere. Zur Vereinfachung solltest Du vorher mit dem Hauptnenner multiplizieren.

26.06.2011, 19:45

Autodidakt85

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Ok ab hier wird bei mir sehr holprig,

- y*1/3*t + y^2*1/2 = - z*1/3*t + z^2*1/2 | - ( - z*1/3*t + z^2*1/2)

- y*1/3*t + y^2*1/2 - (- z*1/3*t + z^2*1/2) =0

- y*1/3*t + y^2*1/2 + z*1/3*t - z^2*1/2) =0 (Klammer aufgelöst, Vorzeichen der Faktoren ändern sich)

- y*1/3*t + y^2*1/2 + z*1/3*t - z^2*1/2 =0

Ab hier beginnt die Spekulation:

- y*1/3*t + y^2*1/2 + z*1/3*t - z^2*1/2 =0 | *3

- y*t + y^2*1,5 + z*t - z^2*1,5 =0 | selbst wenns bis hier hin richtig wäre hänge ich hier. Durch 0 kann ich nichts teilen ..........

26.06.2011, 19:53

opi

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Habe ich mich so mißverständlich ausgedrückt?

Zitat:

Original von opi
Wenn Du nun nach t auflösen möchtest, mußt Du alle Produkte mit Faktor t auf eine Seite bringen, alle ohne t auf die andere.

Der Hauptnenner aus den Nennern 2 und 3 ist nicht 3.

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26.06.2011, 19:55

Autodidakt85

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Ja .......... keine Ahnung wie ich das machen soll, da hänge ich halt, wäre nett wenn Du es mal vorführen würdest, da ich wie schon gesagt von solchen Dingen keine Ahnung habe.

26.06.2011, 20:07

Autodidakt85

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Also ich kanne ja die Lösung http://wikis.zum.de/rmg/index.php/LK_Mat...ächengleichheit

ich weiß auch theoretisch was ich machen muss, ich weiß nur nicht wie ich das anstellen sollte, wie kommen ich zu den einzelnen Lösungen und warum?

Wie bringe ich etwas rüber ???

26.06.2011, 20:25

opi

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Ich nehme Deine letzte Zeile:

- y*t + y^2*1,5 + z*t - z^2*1,5 =0

Die roten Terme enthalten t, die können bleiben, wo sie sind. Die blauen müssen auf die andere Seite. Das Du Terme von einer auf die andere Seite bringen kannst, hast Du schon gezeigt.

Die Musterlösung verfolgt eine andere Strategie. Laß Dich davon nicht verwirren sondern vergleiche die Rechnungen später.

edit: Farben jetzt auch farbig.

26.06.2011, 21:07

Autodidakt85

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Ok ok wollen mal schauen:

- y*t + y^2*1,5 + z*t - z^2*1,5 =0 |-(y^2*1,5 )

- y*t + z*t - z^2*1,5 =-y^2*-1,5

- y*t + z*t =-y^2*-1,5 + z^2*1,5

????? richtig oder falsch .......... wenn ich dann / z teilen würde ich muss doch dann JEDEN FAKTOR EINE GLEICHUNG TEILEN

also wenn ich hier jetzt - y*t + z*t =-y^2*-1,5 + z^2*1,5 | :z |:-y machen würde dann
t/z+t/-y= -y*-1,5/z + z*1,5 /-y ------------das ist sowas von falsch

Das bringt mich zum verzweifeln

26.06.2011, 21:18

opi

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$\begin{eqnarray*} - yt + zt =-1,5y^2 + 1,5z^2 \end{eqnarray*}$

ist richtig. Mit LaTeX sieht alles viel schöner aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Durch z zu teilen wird Dich nicht weiterbringen, klammere t aus und Du wirst den nächsten Schritt selber sehen.

26.06.2011, 23:00

Autodidakt85

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Zitat:

Original von opi
$\begin{eqnarray*} - yt + zt =-1,5y^2 + 1,5z^2 \end{eqnarray*}$

ist richtig. Mit LaTeX sieht alles viel schöner aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Durch z zu teilen wird Dich nicht weiterbringen, klammere t aus und Du wirst den nächsten Schritt selber sehen.

$\begin{eqnarray*} - yt + zt =-1,5y^2 + 1,5z^2 | (t)<br /> <br /> - y+ z=-1,5y^2 + 1,5z^2<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Dazu eine Frage, warum darf ich hier das t ausklammern obwohl ich auf der anderen seite kein t habe, ich dachte ich muss alles auf beiden Seiten gleich machen! Und wohin mit dem t?

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> <br /> - y+ z=-1,5y^2 + 1,5z^2 |: -y |: z<br /> <br /> 0 =-1,5y + 1,5z <br /> <br /> 0 =-1,5y + 1,5z (1,5) = 1,5 * (z-y)<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ok das scheint richtig zu sein, aber verstehen kann ich das noch nicht? Kannst Du mir meine Fragen beantworten?

26.06.2011, 23:24

opi

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Ausklammern von t bedeutet nicht, die gesammte Funktion durch t zu teilen, sondern t aus einer Klammer herauszuheben.

$\begin{eqnarray*} (- yt + zt) =-1,5y^2 + 1,5z^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t \cdot(- y + z) =-1,5y^2 + 1,5z^2 \end{eqnarray*}$

Die Gleichung wurde nicht durch eine Äquivalenzumformung verändert, sondern lediglich die linke Seite umgeformt.

Ich klammere rechts noch 1,5 aus und sortiere auf beiden Seiten ein klein wenig.

$\begin{eqnarray*} t(z-y) =1,5(z^2 - y^2) \end{eqnarray*}$

Nun bist Du wieder dran. (Über Deine letzten Umformungsschritte decken wir den Mantel des Schweigens, da hast Du ganz böse einzeln aus Summen geteilt)

27.06.2011, 00:53

Autodidakt85

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> t(z-y) =1,5(z^2 - y^2) | : (z-y)<br /> <br /> t =1,5(z - y)<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Oh Danke ....... ich werds jetzt mal versuchen es zusammen zu fassen

27.06.2011, 01:16

opi

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Bitte nicht aus Summen kürzen!

$\begin{eqnarray*} t=1,5 \frac{z^2-y^2}{z-y} \end{eqnarray*}$

Wenn Du durch ein Minus miteinander verbundene Quadrate siehst, mußt Du an die dritte binomische Formel denken.

27.06.2011, 01:22

Autodidakt85

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$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> f(t)=1/4*t^3 - a*t^2 + a^2*t <br /> <br /> F(t)=1/16t^4 - a*1/3*t^3 + a^2*1/2t^2<br /> <br /> a2 = y | a1 = z | y>z<br /> <br /> 1/16t^4 - y*1/3*t^3 + y^2*1/2t^2 =1/16t^4 - z*1/3*t^3 + z^2*1/2t^2<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Schritterklärung : $\begin{eqnarray*} 1/16t^4 \end{eqnarray*}$ kann gegen einander gekürzt werden, da es für das Verhältnis in dem die beiden Terme stehen unbedeutend ist.

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> <br /> - y*1/3*t^3 + y^2*1/2t^2 = - z*1/3*t^3 + z^2*1/2t^2 | (t^2) <br /> <br /> - y*1/3*t + y^2*1/2 = - z*1/3*t + z^2*1/2 <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

So das t darf ich ausklammern weil es auch für das Verhältnis unbedeutend ist da ich beide Seiten mit dem gleichen Faktor multipliziere würde sich am Verhältnis nichts ändern?!

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> <br /> - y*1/3*t + y^2*1/2 = - z*1/3*t + z^2*1/2 <br /> <br /> - y*t + y^2*1,5 + z*t - z^2*1,5 =0 |-(y^2*1,5 )<br /> <br /> - y*t + z*t - z^2*1,5 =-y^2*-1,5 <br /> <br /> - y*t + z*t =-y^2*-1,5 + z^2*1,5<br /> <br /> - y*t + z*t =-1,5*-y^2* +1,5 z^2<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

so jetzt klammern wir t aus

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> <br /> <br /> - y*t + z*t =-1,5*-y^2* +1,5 z^2 | (t)<br /> t*(- y + z) =-1,5*-y^2* +1,5 z^2 | (1,5)<br /> t*(- y + z) =1,5*(-y^2 +z^2) | (-y+z)<br /> t=1,5*(-y+ z)<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

So da stimmt was mit den Vorzeichen nicht, aber darum kümmere ich mich morgen früh, danke für Deine Hilfe!

28.06.2011, 10:33

Autodidakt85

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Zitat:

Original von opi
Bitte nicht aus Summen kürzen!

$\begin{eqnarray*} t=1,5 \frac{z^2-y^2}{z-y} \end{eqnarray*}$

Wenn Du durch ein Minus miteinander verbundene Quadrate siehst, mußt Du an die dritte binomische Formel denken.

$\begin{eqnarray*} t=1,5 \frac{(z+y)*(z-y) }{z-y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= 1,5* (z+y) \end{eqnarray*}$

so sollte es dann richtig sein oder?

28.06.2011, 17:02

opi

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Ja, so stimmt es. Freude

Freude

Generell gilt: Beim Gleichsetzen von Gleichungen ist geschicktes Sortieren und Ausklammern oft eine gute Lösungsstrategie.

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