Erwartungswert ("Kaffeetassen")

26.06.2011, 13:16

Gast11022013

Erwartungswert ("Kaffeetassen")

Meine Frage:
Bei einem Glücksspiel werden drei 1-Euro-Münzen unter neun umgedrehten Kaffeetassen versteckt. Ein Spieler nennt nun drei Tassen, von denen er meint, dass sie die Münzen enthalten. Die gewählten Tassen werden aufgedeckt und das gefundene Geld dem Spieler gegeben. Bestimme den Erwartungswert des Gewinns des Spielers, wenn vereinbart ist, dass jede Tasse höchstens eine Münze enthält.

Meine Ideen:
Es bezeichne X den Gewinn des Spielers.
Der Spieler kann ja 0,1,2 oder 3 Euro gewinnen.

Das heißt, für den Erwartungswert gilt:

$\begin{eqnarray*} E(X)=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3) \end{eqnarray*}$

Soweit ist's klar.

Aber was nimmt man hier für $\begin{eqnarray*} P(X=x) \end{eqnarray*}$ ?

Die Binomialverteilung?

Also zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} P(X=2)=\binom{9}{2}\cdot p^{2}\cdot (1-p)^7 \end{eqnarray*}$ ?

Was ist hier dann p?

Danke für jede Hilfe.

Edit:

Vielleicht wählt man $\begin{eqnarray*} p=0,5 \end{eqnarray*}$ : Eine Kaffeetasse kann eine Münze enthalten oder nicht.

26.06.2011, 13:19

Math1986

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RE: Erwartungswert ("Kaffeetassen")
Dein Ansatz ist bisher richtig, ich verweise hier einfach mal auf "Ziehen ohne Zurücklegen" Augenzwinkern

Fürs Ziehen ohne Zurücklegen gibt es eine spezielle Verteilung, deren Erwartungswert auch bekannt ist.

Binomialverteilung wäre Ziehen mit Zurücklegen, also hier nicht anwendbar.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Tasse eine Münze enthält, ist doch nicht 0,5 geschockt

26.06.2011, 13:22

Gast11022013

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RE: Erwartungswert ("Kaffeetassen")
Da wirst Du die hypergeometrische Verteilung meinen.

26.06.2011, 13:23

Math1986

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RE: Erwartungswert ("Kaffeetassen")

Zitat:

Original von Dennis2010
Da wirst Du die hypergeometrische Verteilung meinen.

Deren Erwartungswert ist bekannt.

26.06.2011, 13:27

Gast11022013

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Der lautet allgemein:

$\begin{eqnarray*} E(X)=n\frac{M}{N} \end{eqnarray*}$ , wobei:

N=Anzahl der Elemente einer Grundgesamtheit
M=Anzahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft in der Grundmenge
n=Anzahl der Elemente in einer Stichprobe

Für diese Aufgabe ist dann wohl

N=9
M=0,1,2 bzw. 3
n=3

Korrekt?

26.06.2011, 13:29

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Der lautet allgemein:

$\begin{eqnarray*} E(X)=n\frac{M}{N} \end{eqnarray*}$ , wobei:

N=Anzahl der Elemente einer Grundgesamtheit
M=Anzahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft in der Grundmenge
n=Anzahl der Elemente in einer Stichprobe

Für diese Aufgabe ist dann wohl

N=9
M=0,1,2 bzw. 3
n=3

Korrekt?

M=Anzahl der Elemente mit einer bestimmten Eigenschaft in der Grundmenge

Also hier M=3, weil es 3 tassen mit Münzen gibt.

26.06.2011, 13:37

Gast11022013

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Ist dann n=0,1,2 oder 3?

Irgendwo muss es ja variieren, bei N nicht, bei M nicht, dann wohl bei n. Augenzwinkern

Hab noch nicht ganz verstanden, wie man da jetzt die Fälle unterschiedet, also, dass der Spieler 0,1,2 oder 3 Euro gewinnen kann.

Edit:

Vielleicht sollte ich einfach mal die "längere Version" anschauen:

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{k=0}^n k\cdot \frac{\binom{M}{k}-\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray*}$ und hier ist ja $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , also einfach mal einsetzen.

26.06.2011, 13:39

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ist dann n=0,1,2 oder 3?

Irgendwo muss es ja variieren, bei N nicht, bei M nicht, dann wohl bei n. Augenzwinkern

Hab noch nicht ganz verstanden, wie man da jetzt die Fälle unterschiedet, also, dass der Spieler 0,1,2 oder 3 Euro gewinnen kann.

Es variiert nicht, es ist drei und damit fertig!

Mit dieser Formel berechnest du den Erwartungswert, der "variiert" ja auch nicht, der ist fest!

Die Formel, die du oben geschrieben hast, brauchst du da gar nicht

Zitat:

Original von Dennis2010

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum_{k=0}^n k\cdot \frac{\binom{M}{k}-\binom{M-N}{n-k}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray*}$ und hier ist ja $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ , also einfach mal einsetzen.

Das auf dem Bruchstrich ist eine Multiplikation, keine Substraktion.

Wenn du so aufsummierst kommst du genau auf die Formel die du gepostet hast:
$\begin{eqnarray*} E(X)=n\frac{M}{N} \end{eqnarray*}$

26.06.2011, 13:46

Gast11022013

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Okay, dann ist der gesuchte Erwartungswert also 1.

26.06.2011, 13:48

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Okay, dann ist der gesuchte Erwartungswert also 1.

26.06.2011, 13:49

Gast11022013

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Okay, danke.

Hab das eben so schnell nicht kapiert.

Ich dachte: Wo fließen da denn die einzelen Möglichkeiten des Gewinns ein.

Wenn ich mir gleich die ausführliche Formel hingeschrieben hätte, hätte ich ja gesehen, dass da alle Fälle mit einfließen und man am Ende die Formel hat, die ich ganz zuerst gepostet habe.

Blöd von mir.

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