Funktionenfolge bestimmen, nach Eigenschaften

26.06.2011, 14:00	unr8d	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionenfolge bestimmen, nach Eigenschaften Hi, sitze gerade vor folgender Aufgabe. Geben sie eine Funktionenfolge $\begin{eqnarray} (f_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_n:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ an, die die folgenden Eigenschaften hat: (i) $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ ist stetig differenzierbar für jedes $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} f_n(x) = \|x\| \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \setminus [-1/n,1/n] \end{eqnarray}$ für jedes $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (iii) $\begin{eqnarray} (f_n) \end{eqnarray}$ konvergiert gleichmäßig gegen die nicht-differenzierbare Betragsfunktion. Nun, ich würde gerne was anderes behaupten, aber mir fehlt leider noch jeder Ansatz. Bitte helfe mir doch jemand ein wenig auf die Sprünge
26.06.2011, 14:29	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, stell Dir mal die Betragsfunktion vor die Du zwischen den Stellen $\begin{eqnarray} -\frac{1}{n},\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ durch eine stetig differenzierbare Funktion verbindest (etwa eine Parabel). Du musst dann nur die stetige Differenzierbarkeit an den Verbindungspunkten nachweisen. (sofern die gewählte Funktion dieses dann auch ist) Dann sind Bedingung (i) und (ii) schon erfüllt. (iii) wäre dann noch zu zeigen.
26.06.2011, 15:46	unr8d	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok ich habs mal folgendermaßen versucht: $\begin{eqnarray} f_n(x)= \begin{cases} \|x\|,& x\in \mathbb R\setminus [-1/n, 1/n]\\\frac{n}{2} x^2,& x\in [-1/n,1/n]\end{cases} \end{eqnarray}$ Damit ist (ii) erfüllt. Es ist $\begin{eqnarray} f'_n(x)=\begin{cases}-1,&x\in (-\infty,-1/n)\\nx,& x\in [-1/n,1/n]\\1,& x\in (1/n,\infty) \end{cases} \end{eqnarray}$ Trivialerweise sind die Teilfunktionen von f differenzierbar und die von f' stetig. Für die Verbindungspunkte gilt: $\begin{eqnarray} f'_n(-1/n)=-1=\lim_{x \to (-1/n)^-} f'_n(x) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f'_n(1/n)=1=\lim_{x \to (1/n)^+} f'_n(x) \end{eqnarray}$ Damit ist $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ insgesamt stetigt differenzierbar für beliebige n und (i) ist gezeigt. (iii) Sollte wohl auch passen, ich bin mir nicht ganz sicher ob ich das richtig gezeigt habe: $\begin{eqnarray} F(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x) \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} -1/n=0= \lim_{n \to \infty} 1/n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2}(-\frac{1}{n})^2= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2}(\frac{1}{n})^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2n} = 0 \end{eqnarray}$ ist also $\begin{eqnarray} F(x)=\|x\| \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und (iii) ist ebenfalls erfüllt. Ist das so richtig?
26.06.2011, 18:53	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Funktion deiner Funktionsfolge ist unstetig und damit nicht differenzierbar. Es ist zum Beispiel : $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \frac{1}{n} + }f_n = \lim_{x \to \frac{1}{n}+}\|x\| = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Aber $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \frac{1}{n} - }f_n = \lim_{x \to \frac{1}{n}-}\frac{n}{2}\left(\frac{1}{n}\right)^2 = \frac{1}{2n} \neq \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Damit ist f_n für alle n unstetig. Nein Du musst besser aufpassen : Du suchst eine Parabel $\begin{eqnarray} p_n(x) = ax^2 + bx + c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p_n(\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_n(-\frac{1}{n}) = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p_n(0) = 0 \end{eqnarray}$ Die dritte Bedingung ist allerdings nur kosmetischer natur. Damit wird c = 0. Du kannst ein lineares Gleichungssystem aufstellen um die Parameter a,b abhängig von n zu bestimmen. edit : Ich sehe gerade dass man die Dritte Bedingung besser gegen zwei andere tauscht. Du bauchst im Punkt -1/n eine Parabel die dort einen Anstieg von -1 hat und im Punkt 1/n eine Parabel die einen Anstieg von von 1 hat. Damit bekommt man vier (!) Bedingung. Man setzt also besser ein Polynom $\begin{eqnarray} p_n(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray}$ an. Edit 2 : Alternativ lässt man die Nullbedingung zu und setzt $\begin{eqnarray} p_n(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \end{eqnarray}$ an, und erhält so schonmal eine Parabel. edit 3: Ich hab das mal durchgerechnet. Man kommt auf e = b = d = 0 . Die andern beiden Koeffizienten darfst Du bestimmen (sofern Du den Weg über ein Polynom gehen möchtest).
01.07.2011, 18:32	unr8d	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank für deine ausführliche Antwort! Bin bisher leider nicht dazu gekommen mich wieder zu melden aber möchte nun doch nochmal mein Ergebnis posten. Wir gehen also von der Form $\begin{eqnarray} p_n(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \end{eqnarray}$ aus. Folgende Bedingungen sind zu erfüllen: $\begin{eqnarray} <br /> (I) p_n(1/n)=1/n=\|1/n\|<br /> (II) p_n(-1/n)=1/n=\|-1/n\|<br /> (III) p'_n(-1/n)=-1<br /> (IV) p'_n(1/n)=1<br /> (V) p_n(0)=0<br /> \end{eqnarray}$ Mit (III), (IV), (V) erhält man, wie du schon sagtest b=d=e und hat nun also die Form $\begin{eqnarray} ax^4+cx^2 \end{eqnarray}$ Die noch zu erfüllenden Beziehungen reduzieren sich auf $\begin{eqnarray} I (II) \frac{a}{n^4}+\frac{c}{n^2}=\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} IV (III) \frac{4a}{n^3}+\frac{2c}{n}=1 \end{eqnarray}$ Damit kommt man dann auf $\begin{eqnarray} a=-1/2n^3, c=3/2n \end{eqnarray}$ also insgesamt auf $\begin{eqnarray} f_n(x)=\begin{cases}\|x\|,& x\in\mathbb R\setminus [-1/n,1/n]\\-\frac{1}{2}n^3x^4+\frac{3}{2}nx^2,& x\in [-1/n,1/n]\end{cases} \end{eqnarray}$

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