Rechenweg zur Erschließung der Formel für die Höhe eines Tetraeders

26.06.2011, 14:05	KeinSpezialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenweg zur Erschließung der Formel für die Höhe eines Tetraeders Meine Frage: Hallo, Ich soll im Matheunterricht Formeln entwickeln, mit denen man die Höhe und das Volumen eines Tetraeders berechnen kann. Die Formeln findet man im Internet zu hauf, aber ich brauche auch den Rechenweg und ich stehe voll auf dem Schlauch. Von dieser Aufgabe hängt meine Endjahreszensur ab, da die Aufgabe eine mündliche Prüfung ersetzt. Meine Ideen: Ich erhielt die Information, dass die Höhe des Tetraeders die Höhe der Grundfläche bei $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ schneidet. Somit habe ich folgende Formel: $\begin{eqnarray} h^{2} = a^{2}- \left(\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times \sqrt{3} \times a \right) ^{2} \end{eqnarray}$ Beim ausrechnen kommt das hier raus: $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{2} }{3}\times a \end{eqnarray}$ Ist meine Grundüberlegung schon falsch, oder hab ich irgendwo ein Rechenfehler? Im Internet finde ich nur eine andere Lösung.
26.06.2011, 15:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechenweg zur Erschließung der Formel für die Höhe eines Tetraeders ich würde noch einmal "ausrechnen". da hast du einen hund drin
26.06.2011, 15:48	lenzilenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschiebe mal die obere Ecke über eine der unteren, dann sollte es leicht sein das Volumen zu berechnen. Dann kannst du den Satz von Cavallieri benutzten. Die eleganteste Möglichkeit, ist das infinitisimal kleine Volumen einer Scheibe in der Höhe z zu berechnen und dann das Integral über die Höhe zu bilden.

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