Beweis. dass Funktion monoton wachsend ist

26.06.2011, 15:58	carstenj	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis. dass Funktion monoton wachsend ist Hallo, wieder mal eine Frage. Und zwar: Sei $\begin{eqnarray} f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ setig, und sei f(0) = 0. Ferner sei f differenzierbar, und f' sei monoton wachsend. Beweise Sie, dass $\begin{eqnarray} g: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = {f(x) \over x} \end{eqnarray}$ monoton wachsend ist. Kann mir jemand mal einen Ansatz liefern? Danke im Voraus.
26.06.2011, 19:10	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wende für $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ im Intervall $\begin{eqnarray} [0,x] \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ den Mittelwertsatz an und vergleiche mit der Ableitung von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ .
26.06.2011, 22:22	carstenj	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich danke dir für die Antwort. Leider hilft sie mir (noch) nicht viel weiter, weil ich den Zusammenhang nicht herstellen kann. Die Ableitung von g habe ich wie folgt berechnet (Quotientenregel): $\begin{eqnarray} g'(x) = {f'(x)x - f(x)\over x^2} \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich etwas Schwierigkeiten den Mittelwertsatz anzuwenden auf f. Kannst du mir da nochmal helfen? Den Mittelwertsatz an sich meine ich auch verstanden zu haben, nur fehlt mir der Zusammenhang.
26.06.2011, 23:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, und jetzt zeige, daß für $\begin{eqnarray} x > 0 \end{eqnarray}$ diese Ableitung stets $\begin{eqnarray} >0 \end{eqnarray}$ ist. Da der Nenner immer positiv ist, gilt: $\begin{eqnarray} g'(x) > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x f'(x) - f(x) > 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{f(x)}{x} < f'(x) \end{eqnarray}$ Wenn also die letzte Bedingung als richtig erkannt ist, gilt auch die erste. Und jetzt erkennt man wegen $\begin{eqnarray} f(0) = 0 \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} \end{eqnarray}$ einen Differenzenquotienten.
28.06.2011, 00:37	carstenj	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, irgendwie verstehe ich das sogar. Aber ich muss mal dumm nachfragen: Wie kommt man darauf? Wenn ich so eine Aufgabe lese, kann ich mit den Begriffen differenzierbar und monoton wachsend etwas anfangen, den Mittelwertsatz kenn ich auch irgendwie und könnte in normaler Sprache erklären was er bedeutet, aber diese Aufgabe damit lösen hätte ich nicht können. Mir wäre der Mittelwertsatz nichtmal eingefallen. Ich habe unheimlich Schwierigkeiten, gerade in der Analysis, Dinge zusammenzubringen, die ich im einzelnen durchaus verstanden zu haben glaube. Gibt es da irgendwie einen Leitfaden oder irgendwelche Tipps dir ihr mir geben könnt?

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