Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl

15.12.2006, 14:36

GreenFavorit

Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl

Hallo Forumianer,

mit folgendem Beweis habe ich gerade meine Probleme:

zu zeigen: (2^3n)-1 ist keine Primzahl.

Wie gehe ich vor?
Bin Erstsemesterianer..... aus Beispielen habe ich gesehen, dass die Zahl durch 2³-1 teilbar ist....

Gruß,
Uwe

15.12.2006, 14:42

klarsoweit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl

Zitat:

Original von GreenFavorit
aus Beispielen habe ich gesehen, dass die Zahl durch 2³-1 teilbar ist....

Zeige das mit vollständiger Induktion.

15.12.2006, 14:44

GreenFavorit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
dass heißt ?!?!??!??!? verwirrt

15.12.2006, 14:49

klarsoweit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
... daß du zeigen mußt, daß $\begin{eqnarray*} 2^{3n} - 1 \end{eqnarray*}$ für alle n aus N durch 7 teilbar.

Du kennst doch vollständige Induktion, oder?

15.12.2006, 14:50

GreenFavorit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
Nein, sagt mir ehrlich gesagt nichts...... traurig

15.12.2006, 15:05

GreenFavorit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
könnte mir ja jmd. helfen ?!?!?!??!?!?!? unglücklich

Die genaue Aufgabe war:
Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit n>1 . Beweisen Sie: $\begin{eqnarray*} 2^{3n}-1 \end{eqnarray*}$ ist keine Primzahl.

15.12.2006, 15:06

klarsoweit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
Hmm. Ein Erstsemesterianer, der keine vollständige Induktion kennt? Was soll man davon halten? verwirrt

OK. Kennst du dann die geometrische Reihe, z.B.:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1}~8^k \end{eqnarray*}$
?

EDIT: Bitte keine Pushpost. Ich beeile mich ja schon, muß aber (im Gegensatz zu dir) auch nachdenken.

EDIT2: Grenzen der Reihe angepaßt.

15.12.2006, 15:07

GreenFavorit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
Nein....
wir sind im Moment beim Thema Operationen..... geht auf Lehramt Realschule ...... kein Uni-Studium!

15.12.2006, 15:10

GreenFavorit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
War nicht als pushpost gedacht, sondern um einfach die komplette Aufgabe darzustellen.....

Und am Nachdenken bin ich auch smile

,
es kotzt mich selber an, dass ich nicht alleine drauf komme....

15.12.2006, 15:15

klarsoweit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
OK. Momentan habe ich keine Idee mehr. Gibt es nicht eine ähnlich gelagerte Beispielaufgabe?

Übrigens: geometrische Reihe und vollständige Induktion kam auch in der Schule vor.

Vielleicht doch noch eine Idee:
$\begin{eqnarray*} 2^3 - 1 \end{eqnarray*}$ ist durch 7 teilbar.
Multipliziere das mit 8 und addiere 7. Das ist dann auch durch 7 teilbar. usw.

15.12.2006, 15:21

GreenFavorit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
Ich hatte folgende Idee, weiß aber nicht, wie ich das in eine mathematische Struktur bringe:

ich habe $\begin{eqnarray*} 2^{3n}-1 \end{eqnarray*}$ , als Beispiel nehme ich $\begin{eqnarray*} 2^{3x4}-1 \end{eqnarray*}$ .
Ergibt 4095.

4095 ist durch 7, also $\begin{eqnarray*} 2^3-1 \end{eqnarray*}$ teilbar....

bringt mir das was ????? verwirrt

Viele Grüße

15.12.2006, 15:31

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
Ein funktionierendes Beispiel ist zwar schön und gut, aber wirklich bringen tut das nichts. Also momentan sehe ich nur das Verfahren, was ich im vorigen Beitrag geschrieben habe.

15.12.2006, 15:44

GreenFavorit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
Hmm, dann weiß ich auch nicht......

Ähnliche Beispiele gibts auf dem aktuellen Übungsblatt keine, da kommt noch was, wo zu zeigen ist, das ggT(p,q)|kgV(p,q)

oder ob $\begin{eqnarray*} 2^{m+n} \end{eqnarray*}$ assoziativ ist.... aber in die Richtung der 1. Aufgabe nichts.

Trotzdem danke

15.12.2006, 15:54

klarsoweit

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RE: Beweis: (2^3n)-1 ist keine Primzahl
Also ich erläutere nochmal meine Idee:

$\begin{eqnarray*} 2^3 - 1 \end{eqnarray*}$ ist durch 7 teilbar.

Dann ist $\begin{eqnarray*} 8 \cdot (2^3 - 1) + 7 = 2^6 - 1 \end{eqnarray*}$ durch 7 teilbar.

Dann ist $\begin{eqnarray*} 8 \cdot (2^6 - 1) + 7 = 2^9 - 1 \end{eqnarray*}$ durch 7 teilbar.

Du siehst, daß im Exponenten nacheinander alle durch 3 teilbaren Zahlen durchlaufen werden. Somit sind Terme der Form $\begin{eqnarray*} 2^{3n} - 1 \end{eqnarray*}$ durch 7 teilbar.

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