Beweise durch Vektoren im Dreieck

26.06.2011, 19:39

galaxxy

Beweise durch Vektoren im Dreieck

Hallo!

Ich hoffe jemand kann mir hier helfe. Und zwar geht es um folgede Aufgabe.
Im Dreick ABC ist M die Mitte von AC. T teilt BC im Verhältnis 1:2 von B aus. At schneidet BM in S.
a) IN welchem Verhältnis teilt S die Strecke AT vn A aus.

Ich habe jetzt mehrfach versucht das zu berechnen, aber anscheinend mache ich immer etwas falsch.
Als Basisvektoren habe ich $\begin{eqnarray*} AB =\vec{u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AC =\vec{v} \end{eqnarray*}$ .
Als Vektorkette $\begin{eqnarray*} \vec{AS} + \vec{SB} +\vec{BA} \end{eqnarray*}$

nach einigen Umformungsschritten komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} \beta \vec{v} -\frac{2}{3} \beta \vec{v} +\frac{2}{3} \beta \vec{u} +\alpha \vec{v} -\frac{2}{3} \alpha \vec{v} +\frac{2}{3} \alpha \vec{u} -\frac{1}{3} \vec{v} +\frac{1}{3} \vec{u} -\vec{u} \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \vec{v} * ( \beta - \frac{2}{3} \beta +\alpha - \frac{2}{3} \alpha -\frac{1}{3} ) = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{u} * (\frac{2}{3} \beta + \frac{2}{3} \alpha + \frac{1}{3} - 1)= 0 \end{eqnarray*}$

aufgelöst ergibt das $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta = 1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta =0 \end{eqnarray*}$ .

Dh S würde AT im Veröhltnis 0:1 teilen, was 1. nicht mit der Zeichnung übereinstimmt und 2. nicht möglich ist?

Jetzt meine Frage, wo ist mein Fehler? bzw. was ist das richtige Ergebnis?
Danke schon mal m Voraus

26.06.2011, 21:05

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sollen wir deine Fehler sehen, wenn du den Rechenweg bis zu dem Zwischenergebnis nicht mitteilst? Ausserdem hast du auch nicht bekanntgegeben, wo bzw. bei welchen Vektoren du deine Verhältnisparameter eingeführt hast.

Nach meinem Ansatz muss gelten:
MB = u - v/2, AT = 2u/3 + v/3, AS = alpha*AT, SB = beta*MB
Damit kommt alpha = 3/4 und beta = 1/2.

Welche Teilverhältnisse resultieren daraus?

mY+

26.06.2011, 22:19

galaxxy

Auf diesen Beitrag antworten »

leider weiß ich nicht was Verhältnisparameter sind? alpha und beta oder wie?

alpha= 3/4 sieht ganz gut aus, dann wäre würde es im Verhältnis 3:1 geteilt.
Allerdings, ist MB =u-v/2 und MB = -v/2+u das gleiche?
und AT st bei mir v+ 2/3* (-v+u) oder ist das auch das gleiche wie 2u/3+v/3 ?

Mein Rechenweg war folgender
Vektorkette: AS+ SB + BA

AS= beta AT
AT=v+ 2/3* (-v+u)
AS= $\begin{eqnarray*} \beta \vec{v}-\frac{2}{3} \beta \vec{v} +\frac{2}{3} \beta \vec{u} \end{eqnarray*}$

SB= alpha AT + 1/3 CB
CB= -v+u
AT = v+ 2/3* (-v+u)
SB= $\begin{eqnarray*} \alpha \vec{v} -\frac{2}{3} \vec{v} +\frac{2}{3} \vec{u} -\frac{1}{3} \vec{v} +\frac{1}{3} \vec{u} \end{eqnarray*}$

BA= -u

also : $\begin{eqnarray*} \beta \vec{v}-\frac{2}{3} \beta \vec{v} +\frac{2}{3} \beta \vec{u}+\alpha \vec{v} -\frac{2}{3} \vec{v} +\frac{2}{3} \vec{u} -\frac{1}{3} \vec{v} +\frac{1}{3} \vec{u} -\vec{u} \end{eqnarray*}$ = 0

dann v bzw u ausklammern, also
$\begin{eqnarray*} \vec{v} * (\beta -\frac{2}{3}\beta +\alpha -\frac{2}{3} \alpha -\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \beta +\frac{1}{3} \alpha -\frac{1}{3} =0 =\beta +\alpha =0 \alpha =1-\beta \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \vec{x} *(\frac{2}{3} \beta +\frac{2}{3} \alpha +\frac{1}{3} -1)=0 =\frac{2}{3} \beta +\frac{2}{3} \alpha -\frac{2}{3} =0 =\frac{2}{3} \beta +\frac{2}{3} (1-\beta )-\frac{2}{3} =0 =\frac{a}{b} \beta +\frac{2}{3} -\frac{2}{3} \beta -\frac{2}{3} =0 = 0=0 \end{eqnarray*}$

26.06.2011, 22:44

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich gerade sehe, dass mYthos OFF und Du ON bist:

Vektor AS kann man so definieren.

Aber SB ist falsch. Geh vom Vektor MB aus und skaliere dann diesen mit dem Parameter $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

26.06.2011, 22:48

galaxxy

Auf diesen Beitrag antworten »

also SB = alpha MB
und MB = -1/2v +u ??
Aber warum ist denn meine "Definition" falsch?

26.06.2011, 22:58

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

So sollte es stimmen; rechne mal damit.

Weil der Vektor SB durch Skalierung des Vektors MB entsteht, und weil Du SB zwar als Linearkombination von AT und CB darstellen könntest, Du dafür aber nicht das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ verwenden darfst, das Du für AS verwendest.

26.06.2011, 23:10

galaxxy

Auf diesen Beitrag antworten »

warum genau meine Version nicht geht, ist mir zwar nich ganz klar, aber mit der anderen Version komme ich jetzt auch auf
alpha=3/4
und beta= 1/2, das passt dann auch zur Zeichnung.
Danke für die Hilfe.

27.06.2011, 13:23

Gualtiero

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Ich habe mir die Aufgabe nochmal genauer angesehen und dabei bemerkt, dass die Begründung in meinem vorigen Beitrag nicht richtig ist, denn Du hast das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eh nur einmal verwendet.

Deine erste Methode funktioniert deshalb nicht, weil sich Deine Parameter auf den gleichen Vektor beziehen und somit zwei linear abhängige Vektoren entstehen.

Zitat:

AS= beta AT
...
SB= alpha AT + 1/3 CB

Die Vektoren müssen aber unabhängig sein. Es muss im Gleichungssystem die Information enthalten sein, dass Punkt M der Mittelpunkt der Strecke AC ist.

Daher wäre z. B. dieser Ansatz zielführend: $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AS}=\beta \cdot \overrightarrow{AT}, \quad \overrightarrow{SB}=\alpha \cdot \overrightarrow{MB} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Beweise durch Vektoren im Dreieck

Verwandte Themen