Räumliches Bereichsintegral

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Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »
Räumliches Bereichsintegral
Hallo,

also ich habe hier eine Aufgabe, mit der ich nicht klar komme:



B wird begrenzt durch x=0, y=0, z=0, x+y+z=1

Ich weiß hier gar nicht, wie ich anfangen soll. Irgendwie parametrisieren?
Hoffe, jemand kann helfen. Versteht mich nicht falsch, ich will keine Lösung, sondern nur einen Ansatz.


Grüße
Gausschen
Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »

Kann wirklich niemand helfen?

Grüße
G.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Räumliches Bereichsintegral
Als erstes solltest du dir klar werden, wie du deinen Integrationsbereich

Zitat:
Original von Gausschen
B wird begrenzt durch x=0, y=0, z=0, x+y+z=1

(ein Tetraeder) "iterativ" aufschreiben kannst, ich meine

Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde hier substituieren.
Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Rene Gruber,

danke für die Antwort. Ja, die Grenzen habe ich so, aber damit komme ich auch nicht weiter. Also, ich gebe mal an, was ich gerechnet habe:



Ist das soweit richtig?


Grüße
Gausschen
Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetal
Ich würde hier substituieren.


Hallo,

wie denn?


Grüße
G.
 
 
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage war zwar an René Gruber gestellt, aba ich denke, es ist ok wenn ich sie beantworte.
Du musst die Integrale genau in der Reihenfolge nehmen wie René Gruber sie aufgeschrieben hat. Es kommt nichts sinnvolles wenn man sie vertauscht. Zumal die letzte Grenzen bei dir variablen beinhalten.

Substituieren würde ich mit

Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetal
Die Frage war zwar an René Gruber gestellt, aba ich denke, es ist ok wenn ich sie beantworte.
Du musst die Integrale genau in der Reihenfolge nehmen wie René Gruber sie aufgeschrieben hat. Es kommt nichts sinnvolles wenn man sie vertauscht. Zumal die letzte Grenzen bei dir variablen beinhalten.

Substituieren würde ich mit



Genau das war mein Problem, am Ende bleiben noch die Variablen x und y stehen. D.h. es hängt also von der Reihenfolge ab? Das wusste ich nicht. Na gut, danke schön.

Jo, die Substitution habe ich oben durchgeführt. Danke euch beiden, jetzt sollte es klappen.

Aber ich hätte trotzdem eine Frae: wie kommt man darauf, dass es in der Reihenfolge sein muss, bevor man sich dumm und dämlich rechnet?


Grüße
G.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

das ist nicht so einfach zu erklären. auf jeden fall gibt es auch andere möglichkeiten dieses dreifachintegral aufzuschreiben. man macht es quasi iterativ.

du hast diese menge



nun überlegst du dir welchen bereich x durchläuft. offensichtlich liegt x zwischen 0 und 1.
nach dem nun x quasi fest ist, überlegst du dir welchen bereich y durchläuft. das ist in diesem fall
zwischen 0 und höchstens 1-x. nun hast du für x und y feste integrationsbereiche aufgestellt. bleibt z übrig. das liegt nun zwischen 0 und 1-x-y.
Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetal
das ist nicht so einfach zu erklären. auf jeden fall gibt es auch andere möglichkeiten dieses dreifachintegral aufzuschreiben. man macht es quasi iterativ.

du hast diese menge



nun überlegst du dir welchen bereich x durchläuft. offensichtlich liegt x zwischen 0 und 1.
nach dem nun x quasi fest ist, überlegst du dir welchen bereich y durchläuft. das ist in diesem fall
zwischen 0 und höchstens 1-x. nun hast du für x und y feste integrationsbereiche aufgestellt. bleibt z übrig. das liegt nun zwischen 0 und 1-x-y.


Hallo Wetal,

wie man die Grenzen bestimmt, weiß ich schon. Aber das meinte ich nicht. Ich meinte, wie man gleich herausfindet, in welcher Reihenfolge man integrieren muss, denn das war ja mein Fehler. Woher weiß man vorher, ob es in der Reihenfolge dxdydz sein muss oder in der Reihenfolge dzdydx ?

Grüße
Gausschen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gausschen
Woher weiß man vorher, ob es in der Reihenfolge dxdydz sein muss oder in der Reihenfolge dzdydx ?

Es geht ja auch beides, und andere Kombinationen auch. Nur lauten dann die Integrationsgrenzen der inneren Integrale, die ja von den äußeren Integrationsvariablen abhängen (dürfen) jeweils etwas anders. Ich weiß nicht, wie es mit deinem räumlichen Vorstellungsvermögen aussieht, aber René hat oben schon mal das Wörtchen "Tetraeder" als geometrische Bezeichnung für das Integrationsgebiet fallen lassen, und genau das trifft hier zu.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gausschen
Hallo Wetal,

wie man die Grenzen bestimmt, weiß ich schon. Aber das meinte ich nicht. Ich meinte, wie man gleich herausfindet, in welcher Reihenfolge man integrieren muss, denn das war ja mein Fehler. Woher weiß man vorher, ob es in der Reihenfolge dxdydz sein muss oder in der Reihenfolge dzdydx ?

Grüße
Gausschen


Die Reihenfolge ist die, in der du die Variablen festlegst. In meinem Beispiel war die Reihenfolge
x, y, z. das heißt am ende deiner Integrale steht dz dy dx.
Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von Gausschen
Woher weiß man vorher, ob es in der Reihenfolge dxdydz sein muss oder in der Reihenfolge dzdydx ?

Es geht ja auch beides, und andere Kombinationen auch. Nur lauten dann die Integrationsgrenzen der inneren Integrale, die ja von den äußeren Integrationsvariablen abhängen (dürfen) jeweils etwas anders. Ich weiß nicht, wie es mit deinem räumlichen Vorstellungsvermögen aussieht, aber René hat oben schon mal das Wörtchen "Tetraeder" als geometrische Bezeichnung für das Integrationsgebiet fallen lassen, und genau das trifft hier zu.


Okay, jetzt hab ichs kapiert, danke - Stichwort: Vertauschung der Integrationsgrenzen.

Mit meinem räuml. Vorstellungsvermögen siehts vielleicht nicht so gut aus, ich musste es mir aufmalen.

edit: Soll ich die Lösung aufschreiben, damit andere davon profitieren können oder ist das nicht nötig? (Naja, wahrscheinlich nicht verwirrt Augenzwinkern )


Grüße
G.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bei vernünftigen Integranden (Stetigkeit reicht allemal) spielt die Integrationsreihenfolge keine Rolle. In jeder Reihenfolge kommt dasselbe Ergebnis heraus. Allerdings kann es sein, daß der Rechengang bei der einen Reihenfolge wie von alleine abläuft, während man sich bei der anderen Reihenfolge "dumm und dämlich" rechnet. Da gilt: "Probieren geht über Studieren" und "Erfahrung macht den Meister".

Im Beispiel hier geht sowohl der Integrand als auch der Integrationsbereich bei einer Permutation der Variablen in sich über. Es ist also nachgerade egal, wie man es anfängt.

Zur Kontrolle: Das Integrationsergebnis ist .
Gausschen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Bei vernünftigen Integranden (Stetigkeit reicht allemal) spielt die Integrationsreihenfolge keine Rolle. In jeder Reihenfolge kommt dasselbe Ergebnis heraus. Allerdings kann es sein, daß der Rechengang bei der einen Reihenfolge wie von alleine abläuft, während man sich bei der anderen Reihenfolge "dumm und dämlich" rechnet. Da gilt: "Probieren geht über Studieren" und "Erfahrung macht den Meister".

Im Beispiel hier geht sowohl der Integrand als auch der Integrationsbereich bei einer Permutation der Variablen in sich über. Es ist also nachgerade egal, wie man es anfängt.

Zur Kontrolle: Das Integrationsergebnis ist .


Hm, ich hab was anderes...:

edit: Nein, mein Fehler. Hab dasselbe raus. Nochmals danke.


Grüße
G.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist ja mein Ergebnis falsch - deines ist es aber mit Sicherheit! Ein Bereichsintegral mit positivem Integranden kann keinen negativen Wert besitzen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

An sich wird die Richtigkeit von Lösungen ja nicht durch demokratische Abstimmung mit Mehrheitsentscheidung bestimmt, aber ich bestätige mal dennoch die Richtigkeit von Leopolds Wert. Augenzwinkern
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