Abschätzung

27.06.2011, 00:05

tobi3

Abschätzung

Hallo.

Ich hab folgendes Problem, bei dem ich nicht weiterkomme:

Seien $\begin{eqnarray*} \alpha_1, ... ,\alpha_n \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben mit der Bedingung

$\begin{eqnarray*} \alpha_i < M \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$

Zeige:

$\begin{eqnarray*} (x-\alpha_1) \cdot ... \cdot (x-\alpha_n) < N_M \end{eqnarray*}$

wobei die Zahl $\begin{eqnarray*} N_M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abhängig ist.

Folgende Idee hab ich:
Ich müsste ja zuerst mal das Produkt ausmultiplizieren und dann die Summanden abschätzen.
Aber da ja $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine beliebige natürliche Zahl ist, weiß ich nicht, wie man das machen soll.

Bin für jede Hilfe dankbar!!
Ciao,
Tobi

27.06.2011, 00:11

tobi3

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Sorry, im ersten Posting stand Quark.

Ich meinte folgendes

$\begin{eqnarray*} (x-\alpha_1) \cdot ... \cdot (x-\alpha_n) = \sum_{i=0}^n x^i \cdot N_i \end{eqnarray*}$

Man zeige :

$\begin{eqnarray*} N_i < N_M \end{eqnarray*}$ für eine feste Zahl $\begin{eqnarray*} N_M \end{eqnarray*}$ , die von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abhängt.

27.06.2011, 01:45

juffo-wup

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Multipliziere das Produkt doch einfach mal aus. Dann erhältst du eine Formel für die $\begin{eqnarray*} N_i \end{eqnarray*}$ , bei der du dann abschätzen kannst. Wenn du es nicht direkt für allgemeines n siehst, setze doch mal n=1,2,3,.. und sieh dir an wie die $\begin{eqnarray*} N_i \end{eqnarray*}$ jeweils aussehen.

27.06.2011, 08:11

tobi3

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Hi,

danke für deinen Ratschlag, aber wie soll man ein Produkt mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren ausmultiplizieren, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beliebig groß sein kann?

Daran scheitert es bei mir nämlich ...

Gruß,
tobi

27.06.2011, 09:47

tobi3

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Hallo!

Kann ich den binomischen Lehrsatz verwenden oder geht das nicht?

27.06.2011, 15:31

juffo-wup

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Zitat:

Original von tobi3
Hi,

danke für deinen Ratschlag, aber wie soll man ein Produkt mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Faktoren ausmultiplizieren, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ beliebig groß sein kann?

Daran scheitert es bei mir nämlich ...

Genau deswegen riet ich es erstmal für ein paar konkrete n auszurechnen. Dann kannst du eine allgemeine Vermutung aufstellen und die beweisen.

28.06.2011, 12:44

tobi3

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Ok, ich hab

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n\left( x-\alpha_{{i}} \right) \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert für verschiedene $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

n=1:
$\begin{eqnarray*} x-\alpha_{{1}} \end{eqnarray*}$

n=2:
$\begin{eqnarray*} {x}^{2}- \left( \alpha_{{1}} +\alpha_{{2}} \right) x+\alpha_{{1}} \alpha_{{2}} \end{eqnarray*}$

n=3:
$\begin{eqnarray*} {x}^{3}- \left( \alpha_{{1}}+\alpha_{{3}}+\alpha_{{2}} \right) {x}^{2 }+ \left( \alpha_{{1}}\alpha_{{3}}+\alpha_{{1}}\alpha_{{2}}+\alpha_{{2 }}\alpha_{{3}} \right) x-\alpha_{{1}}\alpha_{{2}}\alpha_{{3}} \end{eqnarray*}$

n=4:
da kommen schon sehr lange terme vor und das rechnen macht echt keinen spaß mehr :-( ...

Man sieht für $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ , dass für $\begin{eqnarray*} x^{k-1}\cdot N_{k-1} \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} N_{k-1} = \alpha_1 +...+ \alpha_k \end{eqnarray*}$ (das müsste man aber per Induktion beweisen...)

Und außerdem sieht man noch für $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ , dass für $\begin{eqnarray*} x^{k-2}\cdot N_{k-2} \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} N_{k-2} = \alpha_1 \cdot \alpha_k +...+ \alpha_1 \cdot \alpha_{k-1} + \alpha_2 \cdot \alpha_{k} \end{eqnarray*}$
und die Faktoren des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -freien Summanden haben einfach die Form $\begin{eqnarray*} \alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha_k \end{eqnarray*}$

Aber wie kann man das jetzt abschätzen, d.h. wie findet man das gesuchte $\begin{eqnarray*} N_M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N_i < N_M \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} N_M \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ abhängt ??

Ciao,
Tobi

29.06.2011, 22:53

tobi3

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Hallo,

sorry, mein Problem ist nicht gerade das Schönste - ich weiß, aber ich muss euch einfach nochmal fragen:
Weiß denn keiner von euch, wie die Koeffizienten des ausmultiplizierten Produkts

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (x-\alpha_i) \end{eqnarray*}$

aussehen?

Das muss doch eigentlich Standard sein, zumindest müsste das doch den fortgeschrittenen Mathematikern bekannt sein.

Wie gesagt - das Herumrechnen ist doch doof und man lernt dabei ja auch nichts. Dass die Faktoren irgendwelche Binomialkoeffizienten enthalten müssen, ist auch klar.

Wenn ihr eine Quelle habt für dieses "Problem", dann teilt sie mir bitte mit!

Vielen Dank!

MfG,
Tobi

30.06.2011, 10:10

Manni Feinbein

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Soll das $\begin{eqnarray*} M_N \end{eqnarray*}$ nicht etwa auch von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen?

Poste doch mal die genaue Aufgabenstellung im Original-Wortlaut!

30.06.2011, 15:38

juffo-wup

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Zitat:

Original von tobi3
Ok, ich hab

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n\left( x-\alpha_{{i}} \right) \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert für verschiedene $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

n=1:
$\begin{eqnarray*} x-\alpha_{{1}} \end{eqnarray*}$

n=2:
$\begin{eqnarray*} {x}^{2}- \left( \alpha_{{1}} +\alpha_{{2}} \right) x+\alpha_{{1}} \alpha_{{2}} \end{eqnarray*}$

n=3:
$\begin{eqnarray*} {x}^{3}- \left( \alpha_{{1}}+\alpha_{{3}}+\alpha_{{2}} \right) {x}^{2 }+ \left( \alpha_{{1}}\alpha_{{3}}+\alpha_{{1}}\alpha_{{2}}+\alpha_{{2 }}\alpha_{{3}} \right) x-\alpha_{{1}}\alpha_{{2}}\alpha_{{3}} \end{eqnarray*}$

n=4:
da kommen schon sehr lange terme vor und das rechnen macht echt keinen spaß mehr :-( ...

Man sieht für $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ , dass für $\begin{eqnarray*} x^{k-1}\cdot N_{k-1} \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} N_{k-1} = \alpha_1 +...+ \alpha_k \end{eqnarray*}$ (das müsste man aber per Induktion beweisen...)

Und außerdem sieht man noch für $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ , dass für $\begin{eqnarray*} x^{k-2}\cdot N_{k-2} \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} N_{k-2} = \alpha_1 \cdot \alpha_k +...+ \alpha_1 \cdot \alpha_{k-1} + \alpha_2 \cdot \alpha_{k} \end{eqnarray*}$
und die Faktoren des $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -freien Summanden haben einfach die Form $\begin{eqnarray*} \alpha _1 \cdot ... \cdot \alpha_k \end{eqnarray*}$

Das ist doch schon mal was. (edit: Aber deine Vermutung für $\begin{eqnarray*} N_{k-2} \end{eqnarray*}$ stimmt nicht, und bei der für $\begin{eqnarray*} N_{k-1} \end{eqnarray*}$ hast du das negative Vorzeichen vergessen) Da du anscheinend nicht selbst auf die allgemeine Formel für die Koeffizienten kommst: Wenn $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (x-\alpha_i)=x^n+c_1x^{n-1}+c_2x^{n-2}+..+c_n \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ immer gerade die Summe über alle Produkte von jeweils $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ verschiedenen der $\begin{eqnarray*} \alpha_j. \end{eqnarray*}$
Also für i=1 nur die $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ einzeln aufsummiert, für i=2 alle möglichen Produkte von je 2 von ihnen etc.
Nun müsstest du das beweisen, was aber eigentlich nur Kombinatorik beim Ausmultiplizieren des Produktes ist. Für die Abschätzung der Koeffizienten $\begin{eqnarray*} c_i \end{eqnarray*}$ kannst du dann einfach die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \alpha_i<M \end{eqnarray*}$ jeweils anwenden.

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