Anzahl Polygonflächen berechnen

27.06.2011, 08:23

KevinT

Anzahl Polygonflächen berechnen

Hallo,
Ein Polygon soll aus gleichseitigen Dreiecken aufgespannt werden. Die Kantenlänge der Dreiecke ist gegeben, der Durchmesser des Polygons auch. Die Frage lautet nun: Wie viele Dreiecke benötigt man?

Hat irgendwer dazu einen Ansatz? Die Kugelfläche mit dem Polygondurchmesser hilft hier wohl nicht sehr viel...

Gruß,
Kevin

27.06.2011, 08:38

René Gruber

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Zitat:

Original von KevinT
Ein Polygon soll aus gleichseitigen Dreiecken aufgespannt werden.

Was verstehst du unter "aufspannen"? Überdecken vielleicht?

Klar ist jedenfalls. dass du ein beliebiges Polygon kaum durch eine endliche Anzahl von gleichseitigen Dreiecken genau ausfüllen kannst.

27.06.2011, 09:00

KevinT

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Leider verlässt mich ein wenig mein mathematisches Vokabular. Ich versuchs nochmal:

Gegeben ist eine Kugel mit dem Durchmesser D. Nun sollen so viele gleichseitige Dreiecke wie möglich so platziert werden, dass ihre Ecken auf der Kugelfläche liegen.
Diese Anzahl ist gesucht.
Im 2-Dimensionalen Fall würde man $\begin{eqnarray*} 360° / \alpha \end{eqnarray*}$ rechnen und hätte über den Rest sogar noch eine Abschätzung wie gut das passt. Leider kann man den Ansatz nur schwer auf 3D übertragen.

[attach]20303[/attach]

27.06.2011, 09:10

René Gruber

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Ach jetzt wird's plötzlich dreidimensional??? Davon war oben ja noch gar keine Rede, denn unter Polygon versteht man in der Regel ein ebenes Vieleck.

Wie auch immer, nach deiner jetzigen Korrektur der Problemstellung erinnere ich mich daran, dass sowas ähnliches doch erst vor kurzem hier im Board gefragt wurde... verwirrt

EDIT: ...Achso, das warst auch du:

komplexe Frage um Kugeloberflächen

Warum dann der Zirkus mit einem neuen Thread sowie wiederholt schlechter Problembeschreibung. unglücklich

27.06.2011, 13:19

KevinT

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ich hatte gehofft, dass sich durch den neuen Ansatz andere Leute angersprochen fuehlen.
Scheinbar gibt es aber keine (einfache) Loesung fuer mein Problem...

27.06.2011, 13:26

René Gruber

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Klar ist, dass für Seitenkantenlänge $\begin{eqnarray*} a\ll D \end{eqnarray*}$ die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} N \approx \frac{\pi D^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}a^2} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{3}\cdot \frac{D^2}{a^2} \end{eqnarray*}$

einen Anhaltspunkt gibt. Der Fehler dieser Abschätzung dürfte dabei in der Größenordnung $\begin{eqnarray*} O(\sqrt{N})= O\left( \frac{D}{a} \right) \end{eqnarray*}$ liegen. Aber soweit warst du sicherlich auch schon.

27.06.2011, 17:35

KevinT

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Nicht ganz. Die Gleichung hatte ich auch. Die Fehlerabschätzung allerdings nicht. Leider verstehe ich sie auch nicht. Kannst du die noch ein bisschen erklären?
Rein vom Gefühl müsste der Fehler doch mit wachsendem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ größer werden. Für $\begin{eqnarray*} a->0 \end{eqnarray*}$ müsste der Fehler doch gegen 0 gehen.

Um die Gleichung zu erweitern müsste man wissen welche Fläche das Dreieck auf der Kugelfläche einnimmt (gewissermaßen der projezierte Schatten).

Hierzu muss die Fläche einer Kugelkalotte berechnet werden $\begin{eqnarray*} A_K = 2*r_K*h_K*\Pi \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} h_K = 5/8 * a \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} r_K = d/2 \end{eqnarray*}$ .

Wie ich nun allerdings aus der Fläche der Kugelkalotte den betreffenden Anteil (grau) ausrechne, dafür habe ich noch keine Lösung. Die projezierten Kugelflächen sind mit Sicherheit nicht proportional zu deren 2-dimensionalen Pendants...

[attach]20307[/attach]

Gruß,
Kevin

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