Krümmung einer Parallelkurve berechnen

27.06.2011, 13:10	Skaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung einer Parallelkurve berechnen Meine Frage: Hallo, meine Aufgabe lautet: Es sei c(t), $\begin{eqnarray} t \in I \end{eqnarray}$ , eine ebene reguläre $\begin{eqnarray} C^3 \end{eqnarray}$ -Kurve mit Krümmung $\begin{eqnarray} \kappa (t) \end{eqnarray}$ , und es sei $\begin{eqnarray} d \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \kappa(t) \cdot d < 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t \in I \end{eqnarray}$ . Dann heißt die Kurve $\begin{eqnarray} c_d(t):=c(t)+d\cdot e_2(t) \end{eqnarray}$ Parallelkurve zu c im Abstand d. Berechnen Sie die Krümmung von $\begin{eqnarray} c_d \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich weiß, dass $\begin{eqnarray} \kappa :=\|\|c''\|\| \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung stets positiv ist. Ich kann die Krümmung also berechnen, wenn ich die Kurve $\begin{eqnarray} \|\|c_d''\|\|=\|\|c(t)+de_2(t)\|\| \end{eqnarray}$ berechne. Ich habe aber c(t) gar nicht gegeben und kann dies deshalb nicht weiter ausrechnen. Ich hatte mir auch überlegt, die Frenet-Gleichungen zu verwenden. Die Frenet-Gleichungen besagen, dass $\begin{eqnarray} \kappa \cdot e_2 = e_1' \end{eqnarray}$ . Das könnte ich natürlich einfach nach der Krümmung unformen, ich glaube aber nicht, dass das Sinn der Sache ist. Ich freue mich über jede Hilfe, lg Skaa
27.06.2011, 15:38	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Krümmung ist allgemein der Betrag der 2.Ableitung $\begin{eqnarray} \kappa=\left \|\vec c''(s)\right \| \end{eqnarray}$ nach der Bogenlänge s. Hat man anstelle der Bogenlänge s einen anderen Kurvenparameter, wird diese Definition etwas komplizierter. Setze darin deine Parallelkurve $\begin{eqnarray} \vec c_P=\vec c+d\cdot \vec e_2 \end{eqnarray}$ ein. Dabei ist d eine Konstante und $\begin{eqnarray} \vec e_2 \end{eqnarray}$ der Hauptnormaleneinheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec e_2 =\frac{\vec t'}{\|\vec t\|} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \vec t=\vec c' \end{eqnarray}$ der Tangentialvektor ist. Die Striche bedeuten wie oben die Ableitung nach der Bogenlänge s. Der Rest ist reine Rechnung, die du können solltest.
27.06.2011, 21:21	Skaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe das mal ausgerechnet, um sicherzugehen, dass ich das auch richtig mache.. Ich erhalte also für $\begin{eqnarray} e_2= \frac{c''}{\|\|c''\|\|} \end{eqnarray}$ . Damit berechne ich $\begin{eqnarray} \kappa=\|\|c_p''(s)\|\|=\|\|(c + d \cdot e_2)''\|\|= \|\|(c+d \cdot \frac{c''}{\|\|c''\|\|})''\|\| \end{eqnarray}$ Wenn ich die Ableitungen berechne, erhalte ich: $\begin{eqnarray} \kappa= \|\|c'' + d \cdot \frac{c''''}{\|\|c''\|\|}\|\| \end{eqnarray}$ Ist das richtig soweit? Ich sehe auch keine weitere Vereinfachung mehr...
28.06.2011, 09:40	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du darfst nicht einfach den Ausdruck $\begin{eqnarray} \left (d\cdot \frac{c''}{\|c''\|} \right )'' \end{eqnarray}$ gleichsetzen mit $\begin{eqnarray} \left (d\cdot \frac{c''''}{\|c''\|} \right ) \end{eqnarray}$ , sondern musst beim Ableiten die Quotientenregel verwenden! Richtig ist $\begin{eqnarray} \left (d\cdot \frac{c''}{\|c''\|} \right )''=d\cdot \left ( \frac{c''' \|c''\|-\|c''\|'c''}{\|c''\|^2}\right )' \end{eqnarray}$ . Darin sollte man den Faktor $\begin{eqnarray} \|c''\|' \end{eqnarray}$ wie folgt umformen, damit Ableitungen von Beträgen unterdrückt werden $\begin{eqnarray} \|c''\|'=\left (\sqrt{{c''}_x^{2}+{{c''}_y^2}}\right )'=\frac{{c'''}_x{c''}_x+{c'''}_y{c''}_y}{\sqrt{{c''}_x^{2}+{c''}_y^2}}=\frac{c'''c''}{\|c''\|} \end{eqnarray}$ Ersetze damit in der 2.Zeile den Faktor $\begin{eqnarray} \|c''\|' \end{eqnarray}$ und führe die nächste Ableitung aus.

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