Ist diese Ableitung richtig? |
| 27.06.2011, 14:10 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Ist diese Ableitung richtig? Hallo zusammen, ich rechne gerade ein paar Ableitungen durch zum üben, bin aber jetzt auf eine gestoßen, deren Lösung ich nicht habe, also nicht vergleichen kann. Ich hätte einfach gern eine Bestätigung, ob meine Lösung stimmt! f(x) = (x * sin(x) + cos(x)) / (x * cos(x) - sin(x)) Meine Ideen: = (cos(x) - sin(x)) * (x * cos(x) - sin(x)) - (x * sin(x) + cos(x)) * (-sin(x) - cos(x))) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (x * cos(x)^2 - cos(x) * sin(x) - x * cos(x) * sin(x) + sin(x)^2 + x * sin(x)^2 + x * cos(x) * sin(x) + cos(x) * sin(x) - cos(x)^2) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (x * sin(x)^2 + sin(x)^2) / (x * cos(x) - sin(x))^2 |
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| 27.06.2011, 14:15 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wo ist denn bei dir denn die Produktregel? Es heißt doch unter anderem x*sin(x)... |
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| 27.06.2011, 14:45 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
ah, ok dann sollte also meine erste zeile so aussehen: (sin(x) + cos(x) + x * (cos(x) - sin(x))) / (cos(x) - sin(x) + x * (- sin(x) - cos(x))) oder? |
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| 27.06.2011, 14:49 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, dein Nenner war richtig. Einfach quadrieren. Doch der Zähler ist etwas komplexer. Du hast einfach das x nicht beachtet. Doch auch dieses will abgeleitet werden! Dabei gilt: (f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x) |
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| 27.06.2011, 15:07 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Aber wie kann denn der Nenner stimmen, wenn ich die Produktegel vergessen habe? Müsste ich dann nicht zuerst auf Zähler und Nenner die Produktregel anwenden und danach die Quotientenregel? Also: (sin(x) + x * cos(x) + cos(x)) / (cos(x) - xsin(x) - cos(x)) und dann damit: (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2 ?? |
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| 27.06.2011, 15:11 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das wäre dann so ein Mischmasch. Wende direkt die Quotientenregel an. Die besagt ja "Lass den Nenner wie er ist" (Abgesehen vom quadrieren). Im Zähler musst du aber beachten, dass f(x) eine verkettete Funktion ist! (Wie auch g(x)!) |
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| 27.06.2011, 15:13 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also Quotientenregel & Produktregel & Kettenregel?... Meine Fresse... T.T |
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| 27.06.2011, 15:24 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sry "verkettet" war hier eine schlechte Wortwahl. Quotientenregel und Produktregel reichen hier aus 
Das sieht dann wie aus? |
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| 27.06.2011, 15:58 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
puhh... Also: Der Nenner mit (x * cos(x) - sin(x))^2 ist richtig? Der Zähler wäre ja dann normalerweise f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x). Hmm... Ich kann doch nicht beide Regeln zur gleichen Zeit anwenden, oder? Irgendwie habe ich da gerade einen dicken Knoten im Hirn. Wenn du sagst, dass der "Mischmasch", so wie ich ihn geschrieben hätte, falsch ist, habe ich irgendwie gar keinen Ansatz mehr. In meinen Unterlagen finde ich auch keine einzige andere Aufgabe dieser Art, nur Quotientenregel ODER Produktregel. Die Aufgabe stammt übrigens aus einer Klausur, die ich letztes Semester versaut habe, aber es hat sich wohl noch immer keine Besserung eingeschlichen, zumindest nicht auf diesem Feld! Nochmal nachdenken: f(x) und g(x) sind beide jeweils "verkettete" Funktionen. D.h. ich kann nicht blind Einsetzen!? Aber wenn ich vor dem Einsetzen die Produktregel anwende, und dann eben z.B. f(x) = x * sin(x) + cos(x) f(x) = h(x) + cos(x) h(x) = x * sin(x) Produktregel: (f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x) also: 1 * sin(x) + x * cos(x) und das dann wieder in: 1 * sin(x) + x * cos(x) + cos(x) / ... was aber dann nach deiner Aussage falsch ist... Ich brauch nen Kaffee.... |
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| 27.06.2011, 17:34 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
So, nochmal hingesetzt, geblättert, gegoogelt, genervt... f(x) = (x * sin(x) + cos(x)) / (x * cos(x) - sin(x)) f'(x) = (sin(x) - x * sin(x) + sin(x) - cos(x) - x * sin(x) - cos(x)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (2(sin(x)) - 2(x * sin(x)) - 2(cos(x)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 Jetzt sag bitte, dass ich wenigstens nicht total falsch liege! |
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| 27.06.2011, 17:41 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sry, deinen ersten Post muss ich überblättert haben und deswegen gabs keine Antwort... Zur ersten Antwort/Frage:
Der Teil ist richtig.
Hä? Warum sieht das nicht mehr wie oben aus? Leite doch mal f(x) ab. Du kannst ja die Summanden einzeln betrachten -> Also h(x) ableiten und dann die Ableitung von cos(x) dazuaddieren
Zweite Antwort/Frage:
Der Nenner stimmt wohl
Der erste Summand der Ableitung (Zähler) stimmt auch^^.aber dann? Warum -x*sin(x)? Da kommt doch jetzt die Ableitung vom sin(x) ins Spiel! Nach der Produktregel, bleibt doch der Nenner im ersten Summanden stehen, wo ist der bei dir? Ganz nach:
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| 27.06.2011, 23:11 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wenn eine Funktion f(x) gegeben ist, ist es nicht gut diese Schreibfigur in einer Beispielformel zu verwenden. Stiftet nur Verwirrung. ----------------------------------------- Zur Übung buttom - up Methode: f(x)=u(x)/v(x) jetzt erstmal in Ruhe u'(x) und v'(x) und evtl schon v(x)^2 berechnen. Die Teilableitungen sind nicht zu schwer... ( Wenn doch, dann erst diese wieder zerlegen ) zum Schluss in Quotientenformel eingesetzt. Das mach ich heut noch so, wenn mir der Quotient zu "komplex" erscheint. Ist zwar ein wenig schulmässig, doch hilft es enorm, Fehler zu vermeiden. |
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| 28.06.2011, 00:29 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Also dann auf ein Neues! Produktregel: f(x) = u(x) * v(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
u(x) = x * sin(x) + cos(x) u'(x) = 1 * sin(x) + x * cos(x) - sin(x) v(x) = x * cos(x) - sin(x) v'(x) = 1 * cos(x) + x * (- sin(x)) - cos(x) soweit richtig? Quotientenformel: f(x) = u(x)/v(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2
= ((1 * sin(x) + x * cos(x) - sin(x)) * (x * cos(x) - sin(x)) - (x * sin(x) + cos(x)) * (1 * cos(x) + x * (- sin(x)) - cos(x))) / (x * cos(x) - sin(x))^2 und nochmal: soweit richtig? = ((sin(x) + xcos(x) - sin(x)) * (xcos(x) - sin(x)) - (xsin(x) + cos(x)) * (cos(x) - xsin(x) - cos(x))) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (xcos(x)^2 - xcos(x)sin(x) + xsin(x)^2 + xcos(x)sin(x)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (xcos(x) + xsin(x))^2 / (x * cos(x) - sin(x))^2 und schließlich: soweit richtig? jegliche Fehler meinerseits sind im Moment übrigens auf die Uhrzeit zurückzuführen 
.Zwischendurch übrigens vielen Dank an Equester und Dopap für eure Hilfe. Langsam macht mir das sogar Spaß! Nacht! |
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| 28.06.2011, 00:42 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Falsch -> Du sprichst von der Funktion f(x) und deren Ableitung f'(x) im gleichem Atemzug Oo Der Sinn aber richtig.
Gleiches Argument.
Das ist richtig 
Ein Fehler bei der Zusammefassung: = (x²cos(x)^2 - xcos(x)sin(x) + x²sin(x)^2 + xcos(x)sin(x)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 Dann passts
Stellt sich übrigens die Frage was dir Spaß macht! Du lässt viel Raum für Spekulationen
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| 28.06.2011, 00:54 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, ich bin doch noch nicht pennen, wollte deine Antwort abwarten
.Als ich die zwei Regeln "zusammengefasst" habe, wusste ich eigentlich schon beim Schreiben, dass sich der echte Mathematiker wohl gleich übergebebn wird ^^, sorry, aber
reicht mir soweit, ich muss es ja nur verstehen. Und eigentlich weiß ich ja, dass f(x) != f'(x) ist, war nur zu blöd, das in dem Moment so zu formulieren
.Zu meinem Fehler bei der Zusammenfassung: Das war wohl ein, für mich schon immer typischer, Flüchtigkeitsfehler. Wenn ich einfach = ((xcos(x))^2 - xcos(x)sin(x) + (xsin(x))^2 + xcos(x)sin(x)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 statt
geschrieben hätte, hätts ja auch gepasst, oder? Jedenfalls kann ich JETZT endlich zufrieden einschlafen
.Danke dir vielmals. Hmm, was mir Spaß macht? Endlich eine Lösung zu finden
, bzw. auf sie hingeprügelt zu werden ^^.Jetzt aber: Gute Nacht! |
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| 28.06.2011, 00:58 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja dann hätte der Teil gepasst, nicht aber der Rest. Mit der Klammer ergibt sich dann: = (x²cos(x)^2 - xcos(x)sin(x) + x²sin(x)^2 + xcos(x)sin(x)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (x²cos(x)^2 + x²sin(x)^2) / (x * cos(x) - sin(x))^2 Dann x² ausklammern und die Additionstheoreme im Kopf haben -> sin²(x)+cos²(x)=1 Also (Zähler) x²(cos²(x)+sin²(x))=x²*1=x² Demnach ein Endergebnis von: x²/(x * cos(x) - sin(x))^2 Das hattest du auch so?
So dann gute Nacht, nächstes mal beschränken wir uns aber auf ein Finden ohne Prügel?!^^ |
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| 28.06.2011, 07:02 | Vagans | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und weils so schön war, noch einmal alles zusammenfassen, ok? f(x) = (x * sin(x) + cos(x)) / (x * cos(x) - sin(x)) f(x) = u(x) / v(x) u(x) = x * sin(x) + cos(x) u'(x) = 1 * sin(x) + x * cos(x) - sin(x) v(x) = x * cos(x) - sin(x) v'(x) = 1 * cos(x) + x * (- sin(x)) - cos(x) f'(x) = ((1 * sin(x) + x * cos(x) - sin(x)) * (x * cos(x) - sin(x)) - (x * sin(x) + cos(x)) * (1 * cos(x) + x * (- sin(x)) - cos(x))) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = ((sin(x) + x * cos(x) - sin(x)) * (x * cos(x) - sin(x)) - (x * sin(x) + cos(x)) * (cos(x) - x * sin(x) - cos(x))) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = ((x * cos(x) * (x * cos(x) - sin(x)) - (x * sin(x) + cos(x) * (- x * sin(x))) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (x^2 * cos(x)^2 - x * cos(x) * sin(x) + x^2 * sin(x)^2 + x * cos(x) * sin(x)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (x^2 * cos(x)^2 + x^2 * sin(x)^2) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = (x^2(cos(x)^2 + sin(x)^2)) / (x * cos(x) - sin(x))^2 = x^2 / (x * cos(x) - sin(x))^2 Jetzt aber? Achja, guten Morgen! |
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| 28.06.2011, 11:28 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich hab mich jetzt nicht akribisch durchgearbeitet, aber der Anfang und das Ende stimmt somit wohl auch die Mitte
So Früh schon wach und am Arbeiten Oo^^ |
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