Tangenten in quadratischen Funktionen ermitteln

27.06.2011, 14:17

Blackfair

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Tangenten in quadratischen Funktionen ermitteln

Ich weiss die Frage kam schon oft aber ich bin nicht so der Mathe - Überflieger. Hättet ihr vielleicht einen Moment um mit mir durchzugehen wie man in einer Parabell eine Tangente ermittelt, wenn nur der Punkt gegeben ist.

Die Aufgabe die ich dazu habe lautet:

Gegeben sind P1( $\begin{eqnarray*} -4/9 \end{eqnarray*}$ ) P3( $\begin{eqnarray*} 4/-\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ )
und die Parabell $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{3}x ^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{3} (x-2)^{2} - 3 \end{eqnarray*}$

Wie heisst die Gleichung der Geraden durch Punkt 1 und Punkt 3

Ich hab so angefangen:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{3}x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} mx-9= \frac{1}{3}x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{1}{3}x^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{22}{3} -mx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= \frac{1}{3}x^{2} + (- \frac{4}{3} -m)x - \frac{22}{3} \end{eqnarray*}$

Diskriminante einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 0=(-\frac{4}{3} - m)^{2} - \frac{4}{1} mal \frac{1}{3} mal \frac{22}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=m^{2} - \frac{8}{3}m -8 \end{eqnarray*}$

Ich weiss nun aber nicht weiter, ich komme auf keinen grünen Zweig.

27.06.2011, 14:50

klarsoweit

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RE: Tangenten in quadratischen Funktionen ermitteln

Zitat:

Original von Blackfair
Wie heisst die Gleichung der Geraden durch Punkt 1 und Punkt 3

Bei einer Geraden durch 2 Punkte interessiert nicht, auf welcher Funktion diese Punkte liegen. Das ist also im Grunde eine ganz simple Geschichte. Nimm eine allgemeine Form der Geradengleichung und bestimme die fehlenden Parameter.

27.06.2011, 14:52

Johnsen

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@klarsoweit:

Ich dachte am Anfang auch so wie du, nur dann ist die Parabel witzlos und da die beiden Punkte P1 und P3 "zufällig" auf der Parabel liegen, denke ich, dass die Tangenten durch diese Punkte gefragt sind! Aber natürlich hast du vollkommen recht, wenn die Aufgabe genau so formuliert wurde!

Gruß

Johnsen

28.06.2011, 08:54

Blackfair

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Die Frage ist für mich etwas unklar formuliert, aber wenn nur eine gerade gemeint ist, dann ist die Rechunung ziemlich einfach.
Danke!

28.06.2011, 08:56

klarsoweit

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Meistens ist es hilfreich, wenn du mal die komplette Aufgabe im originalen Wortlaut postest.

28.06.2011, 09:03

Blackfair

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Jetzt habe ich aber trotzdem noch ein Problem, denn in der nächsten Aufgabe muss ich die Gleichungen einer Tangente ermitteln, ein Punkt ist gegeben (also ergeben sich daraus 2 Lösungen)

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(3/-4) \end{eqnarray*}$

Ich muss jetzt die Steigungen (m1 und m2) und die y-Achsenabschnitte ermiiteln (b1 und b2)

Wie genau mache ich das?
Ich bräuchte es Schritt für Schritt, sonst kann ich's später nicht mehr.

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28.06.2011, 09:12

Bjoern1982

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Da klarsoweit und Johnsen nicht mehr da sind übernehme ich mal eben.

Setze den Punkt P in y=mx+b ein und löse z.B. nach b auf.
Damit kannst du die Gerade durch nur noch eine Unbekannte m ausdrücken.
Danach gleichsetzen und mit Diskriminante arbeiten ähnlich wie in deinem Versuch oben.

28.06.2011, 09:49

Blackfair

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Das wäre so weit klar, aber mit was gleichsetzen? Denn b ist in meiner Parabel schon gegeben, in einem Sonderfall den wir im Unterrich behandelt haben war y=b weil x=0 war. Das ich nicht einfach mit irgendwas gleichsetzen kann zeigt die Rechnung oben, sie geht nämlich nicht richtig auf, das habe ich allerdings erst im Nachhinein gemerkt.

28.06.2011, 09:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blackfair
Das wäre so weit klar, aber mit was gleichsetzen?

Die Geradengleichung mit der Parabel. Aber wie gesagt: du würdest uns allen helfen, wenn du mal die komplette Aufgabe postest.

28.06.2011, 10:07

Blackfair

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-{5}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(3/-4) \end{eqnarray*}$
Wie lauten die Gleichungen der Geraden durch den Punkt P welche Tangenten and die Parabel sind?

28.06.2011, 10:28

Bjoern1982

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Da du bis auf die AUfgabenstellung nichts weiter sagst ist die Aufgabe damit dann also erledigt ?

28.06.2011, 10:38

Blackfair

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Ja.

28.06.2011, 10:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blackfair
$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x-{5}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(3/-4) \end{eqnarray*}$
Wie lauten die Gleichungen der Geraden durch den Punkt P welche Tangenten and die Parabel sind?

OK. Es war mal $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x - \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ .

Du brauchst jetzt eigentlich nur das machen, was Bjoern vorgeschlagen hatte:
- Geradengleichung aufstellen
- mit Parabel gleichsetzen.
- ... mehr dazu, wenn du obiges gemacht hast.

28.06.2011, 11:14

Blackfair

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$\begin{eqnarray*} -4=3m+b \end{eqnarray*}$

Jetzt zu meinem eigentlichen Problem mit was gleichsetzen?
Ich habe keine freien Variiablen wenn ich die Funktion so aufstelle
b in der Parabel ist besetzt sowie x und y in meiner Funktion.
Ich wüsste nicht wie ich's anders formulieren sollte.
Etwa so?

$\begin{eqnarray*} b=-\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-4-3m \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m=-\frac{8}{9} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b=-\frac{20}{3} \end{eqnarray*}$

Da komm ich hin mit meinen Kenntnissen und ich gleube nicht dass das stimmt, denn in der Regel hat ein Punkt einer Tangente 2 Funktionen, die sich dort treffen. Gefragt sind auch 2 Funktionen.

Entschuldige falls ich mein Problem zu ungenau geschildert habe.

28.06.2011, 11:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blackfair
b in der Parabel ist besetzt

verwirrt

In der Parabel sehe ich kein b.

Wie dem auch sei, die Geradengleichung ist nun y = m*x - 4 - 3m.
Setze das nun mit der Parabel gleich und wähle m so, daß die entstehende quadratische Gleichung genau eine Lösung hat.

28.06.2011, 11:31

Blackfair

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Weshalb die setze ich die 3m-4 nochmal in eine Funktion ein?
Oder sollte ich b garnicht in die Parbel sodern in die gegebene Funktion einsetzen?

Die Formel für eine quadratische Funktion ist
$\begin{eqnarray*} f(x)=ax^{2}+bx+c \end{eqnarray*}$
dort habe ich b hergeholt und bin auf meine falsche Lösung gekommen.

Und ich bracuhe 2 Lösungen weil 2 Lösungen gefragt sind. m1 und m2 ; b1 und b2

28.06.2011, 11:34

klarsoweit

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Nun mal langsam. Deine Parabelfunktion ist $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1}{3}x ^{2} - \frac{4}{3} x - \frac{5}{3} \end{eqnarray*}$ . Da ist kein b drin und fertig.

Jetzt setze die Parabel mit y = m*x - 4 - 3m gleich.

28.06.2011, 12:32

Blackfair

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Musste schnell was essen.

Also in dem Fall ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^{2}+(-\frac{4}{3}-m)x-3m+\frac{7}{3}=0 \end{eqnarray*}$

28.06.2011, 12:49

klarsoweit

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Ich würde sagen, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^2 + (-\frac{4}{3}-m)x + 3m + \frac{7}{3}=0 \end{eqnarray*}$ . smile

smile

So. Jetzt am besten das ganze noch mit 3 multiplizieren und die pq-Formel anwenden.

29.06.2011, 07:39

Blackfair

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$\begin{eqnarray*} 0=x^{2}+3(-\frac{4}{3}-m)x-9m+7 \end{eqnarray*}$
Was ist die pq-Formel?
Ist das die Mitternachtsformel?
Oder die Diskriminante?

29.06.2011, 07:45

Bjoern1982

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Das ist - wenn du so willst - ein Spezialfall der Mitternachtsformel, nämlich der Fall für a=1.

29.06.2011, 08:38

Blackfair

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$\begin{eqnarray*} x_{1;2}=\frac{-b \underline+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Welchen Buchstaben stellt 9m jetzt dar?
Oder soll ich den einfach weglassen und mit dem Rest rechnen?

$\begin{eqnarray*} x_{1;2}=\frac{-3(-\frac{4}{3}-m) \underline+ \sqrt{3(-\frac{4}{3}-m)^{2}-4*7}}{2} \end{eqnarray*}$

Dann würde es so aussehen oder?

29.06.2011, 08:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Blackfair
$\begin{eqnarray*} 0=x^{2}+3(-\frac{4}{3}-m)x-9m+7 \end{eqnarray*}$

Obwohl ich es korrigiert hatte, nimmst du wieder die falsche Version. Richtig ist:
$\begin{eqnarray*} 0 = x^2+3(-\frac{4}{3}-m)x + 9m+7 \end{eqnarray*}$

bzw.: $\begin{eqnarray*} 0 = x^2 +(-4 - 3m)x + 9m+7 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Blackfair
Welchen Buchstaben stellt 9m jetzt dar?
Oder soll ich den einfach weglassen und mit dem Rest rechnen?

Natürlich kann man Terme nach Belieben weglassen. Motto "Griechenland": Schulden kann man auch weglassen, sie müssen nur groß genug sein. Big Laugh

Big Laugh

Also nein, das 9m mußt du mitnehmen und ist Teil des "c".

29.06.2011, 09:47

Blackfair

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$\begin{eqnarray*} x_{1;2}=\frac{4+3m\underline+\sqrt{9m^{2}-12m-12}}{2} \end{eqnarray*}$

Weiter komm ich nicht. Bitte sag nicht ich muss den riesen Term in die Gleichung einsetzten....

29.06.2011, 10:04

klarsoweit

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Jetzt kommt folgende nette Überlegung:

Da man nur einen Schnittpunkt (also nur eine Lösung) haben möchte, muß der Term unter der Wurzel gleich Null sein. Also setze diesen gleich Null und du bekommst 2 Lösungen für m.

29.06.2011, 11:17

Blackfair

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Dann ist $\begin{eqnarray*} m_{1}=-\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_{2}=2 \end{eqnarray*}$
Daraus folgt das $\begin{eqnarray*} b_{1}=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{2}=-10 \end{eqnarray*}$
Ist das richtig?

29.06.2011, 11:37

klarsoweit

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Ja.

Freude

Und so sieht das aus:

29.06.2011, 11:47

Blackfair

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Ich weiss das hat jetzt sehr lange gebraucht, danke das ihr mir trotzdem weiter geholfen habt!
Ich wiess jetzt was ich wissen muss um selber auf eine Lösung zu kommen!
Danke viel viel mals! Wink

Wink

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