extrema

27.06.2011, 16:20

breakthrough

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extrema

hallo leute habe folgende aufgabe:

Und zwar sind die relativen Extrema der funktion
$\begin{eqnarray*} e^x(x^3-5x^2+7x+y^2-7) \end{eqnarray*}$
gesucht.

Okay das Prozedere ist mir klar. Partielle Ableitungen ermitteln, in Hessematrix einfügen und dann schauen obs relative minima oder maxima gibt. aber ich habe hier irgendwie probleme mit dieser blöden funktion (wegen dem e und so weiter)
nunja ok... die ableitungen habe ich mal ermittelt und sollten auch stimmen:

$\begin{eqnarray*} f_x = e^x(x^3-2x^2-3x+y^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y = e^x(2y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xx} = e^x (x^3 + x^2-7x+y^2-3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy} = e^x 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy} = e^x 2y \end{eqnarray*}$

hm okay als nächstes setze ich f_x und f_y gleich null:

$\begin{eqnarray*} e^x(x^3-2x^2-3x+y^2) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^x (2y) = 0 \end{eqnarray*}$

ab hier komm ich nicht mehr weiter... am ende müssen ja hier meine Nullstellenkandidaten rauskommen.
Könnte mir hier wer weiterhelfen?

lg

27.06.2011, 16:21

tigerbine

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RE: extrema
Wo hatte die e-Funtkion noch mal ihre Nullstellen? verwirrt

verwirrt

27.06.2011, 16:42

breakthrough

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hm.... nirgends? verwirrt

verwirrt

heißt das ich kann das mal ignorieren:
schau mir 2y = 0 an. daraus folgt y = 0
und das setze ich in die andere gleichung ein:
$\begin{eqnarray*} x^3 -2x^2-3x+0 = 0 \end{eqnarray*}$

??? richtig soweit oder völliger blödsinn?

27.06.2011, 17:01

tigerbine

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Zitat:

Original von breakthrough

Eben. Daher muss y=0 gelten und damit arbeitet man dann weiter. Freude

Freude

27.06.2011, 17:39

breakthrough

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ich glaube ich habs geschockt

geschockt

also y=0. okay
eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} x^3 - 2x^2 - 3x + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

= polynom 3. ordnung. Da gibt es keine schöne Lösungsformel dafür stimmts?
also raten:
eine Lösung habe ich durch probieren herausbekommen: x = -1
d.h. die erste nullstelle ist -1.
jetzt polynomdivision mit mit (x+1):
$\begin{eqnarray*} (x^3 - 2x^2 - 3x) : (x+1) = x^2 -3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 -3x \end{eqnarray*}$ lässt sich schön lösen und ich bekomme die nächsten beiden Nullstellen 0 und 3.

ok, und was fang ich nun damit an?

27.06.2011, 17:40

tigerbine

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Nach dem du nun Jacobi/Gradient fertig hast, sagtest du doch schon was von Hesse...

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27.06.2011, 18:04

breakthrough

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naja....
wie komm ich denn nun von den Nullstellen auf die Punkte die ich zu Untersuchen habe? unglücklich

unglücklich

27.06.2011, 18:06

tigerbine

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Warum hattest du die Nullstellen denn ausgerechnet... Idee!

Idee!

Was sucht man denn? Wie ist der Masterplan, für lokale Extremstellen... usw.

27.06.2011, 18:21

breakthrough

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für mich is es sowieso unklar was das mit den extrema zutun hat nur weil die funktion an ein paar punkten ihre nullstellen hat.

aber gut... ich brauche glaub ich für jede nullstelle einen zweiten wert damit ich eben 3 punkte bekomme. Aber der y-Wert meiner Nullstellen ist ja immer Null....

oder muss ich einfach die punkte (-1,0), (0,0) und (3,0) untersuchen? aber da hat ja die funktion keine extremstellen.. das sind ja eben nur die nullstellen.... böse

böse

27.06.2011, 18:25

tigerbine

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Nenene...

Wie hast du das denn in der Schule gemacht? Wir betrachten nicht die Nullstellen der Funktion, sondern die Nullstellen der ersten Ableitung und checken dann die zweite Ableitungen in diesen Stellen.

Schreiben wir es mal ordentlicher auf.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^x(x^3-5x^2+7x+y^2-7) \end{eqnarray*}$

Man sieht also: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$

Nun sollte man die Jacobimatrix/Gradient bestimmen. Da braucht man die partielle Ableitung nach x und nach y. Davon dann die Nullstellen - nennen sich stationäre Punkte.

Danach bestimmt man die Hessematrix, und untersucht ihre Definitheit in den stätionären Punkten.

Bitte noch mal sauber machen, unbekannte Begriffe nachschlagen.

27.06.2011, 18:45

breakthrough

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achso!
ich habe schon ganz vergessen dass ich ja mit den partiellen Ableitungen Arbeite.
Okay.

ich habe meine Nullstelln der partiellen Ableitungen!
Diese setze ich jetzt in die zweite Ableitung nach x ein.

die da lautet: $\begin{eqnarray*} f_{xx} = e^x(x^3+x^2-7x+y^2-3) \end{eqnarray*}$

da komme ich dann auf die werte -2, sqrt(3) und sqrt(12)
d.h. meine punkte sind: $\begin{eqnarray*} (-1,-2), (0,\sqrt 3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (3,\sqrt 12) \end{eqnarray*}$ ?

27.06.2011, 18:50

tigerbine

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Beachte, dass wir hier nur 1mal nach x und einmal nach y ableiten! Daher auch nur 2 partielle Ableitungen. daher

Zitat:

Bitte noch mal sauber machen, unbekannte Begriffe nachschlagen.

Denn da könnte was nicht passen!

27.06.2011, 19:22

breakthrough

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ja die ableitungen passen.
einmal leite ich nach x ab und einmal nach y aber in die ableitung fyy = e^x*2 kann ich ja nichts einsetzen. e^x lass ich ja weg. bleibt nur die 2.
ich glaube ich werde nur immer verwirrter.
bisher habe ich nur extrama aufgaben gemacht wo die zwei ableitungen polynome 2. grades waren, die ich gelöst habe und jeweils zwei lösungen herausbekam, die dann die punkte für die hessematrix waren....

27.06.2011, 20:13

tigerbine

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Bitte, hör mir doch zu. Wenn du nur 1x Ableitest, kann so was wie fyy doch gar nicht auftreten.

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^x(x^3-5x^2+7x+y^2-7) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&&=e^x(x^3-5x^2+7x+y^2-7) + e^x(3x^2-10x+7)<br /> &&=e^x(x^3-2x^2-3x+y^2)<br /> &&\stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)&&=2e^xy \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Nun haben wir ermittelt:

$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=0, x_2=-1, x_3=3 \end{eqnarray*}$

Und damit die stationären Punkte (-1|0), (0|0), (3|0). Wie sieht nun die Hessematrix aus?

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x \partial x}(x,y)&&=e^x(x^3-2x^2-3x+y^2)+e^x(3x^2-4x-3)<br /> &&=e^x(x^3+x^2-7x+y^2-3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y \partial y}(x,y)&&=2e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y)&&=\frac{\partial f}{\partial y \partial x}(x,y) =2e^xy \end{eqnarray*}$

Nun kannst du doch die 3 Hessematrizen aufstellen. x und y sind doch jeweils bekannt.

28.06.2011, 12:24

breakthrough

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\0 & 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für den stationären punkt (0,0) :
$\begin{eqnarray*} -3 \cdot 2 - 0^2 = -6 <0 \end{eqnarray*}$ --> kein relatives Extreumum.

das gleiche für die anderen beiden stationären punkte.
ich hoffe das stimmt jetzt unglücklich

unglücklich

danke für die liebe hilfe!

28.06.2011, 16:03

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} H_f(x,y)=\begin{pmatrix}e^x(x^3+x^2-7x+y^2-3) &2e^xy \\2e^xy & 2e^x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_f(-1,0)=\begin{pmatrix}\frac{4}{e} &0 \\0 & \frac{2}{e} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_f(0,0)=\begin{pmatrix} -3 &0 \\0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H_f(3,0)=\begin{pmatrix} 12e^3 &0 \\0 & 2e^3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So sieht das bei mir aus. 2x was positiv definites (Minimum), 1mal indefinit (Sattelpunkt)

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