Rang der Matrix A = Rang der MAtrix A*A(transponiert

27.06.2011, 17:41	jokuffer	Auf diesen Beitrag antworten »
*Rang der Matrix A = Rang der MAtrix AA(transponiert Meine Frage:** Also die Aufgabe haben wir als Hausaufgabe gekriegt und leider komme ich nicht weiter Zeigen sie das für alle A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^{p,n} \end{eqnarray}$ gilt das der Rang von A mit A $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ und dem Rang von $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ A übereinstimmt Meine Ideen: Mein erster Gedankengang war das gilt $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n,p} \end{eqnarray}$ wegen der Matrixmultiplikation folgt dann A $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ = A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R^{p,p} \end{eqnarray}$ wegen der Matrixmultiplikation $\begin{eqnarray} M_{m,n} M_{n,r}= M_{m,r} \end{eqnarray}$ also das Produkt von 2 Matrizen hat den sPaltenrang der ersten und den Zeilenrang der 2ten ähnlich für $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ A nur das jetzt $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray}$ also für die $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ A hat den Rang n und A $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ hat den Rang p während A den Rang min(n,p) hat kann ich min(n,p) schreiben? ich meine damit das der Rang von A eben dem kleineren von n,p entspricht also wenn n<p dann ist der Rang von A=n so und leider komm ich jetzt nicht mehr weiter weil ich ja eigenltlich gezeigt habe das die Ränge unterschiedlich sind
27.06.2011, 17:50	mapsto	Auf diesen Beitrag antworten »
hi, also erstmal solltest du, wenn du $\begin{eqnarray} A^TA \end{eqnarray}$ schreibst, alles in latex schreiben, das sieht sonst sehr verwirrend aus. mit dem rang einer matrix meint man meistens nicht die anzahl der zeilen und spalten sondern die maximale anzahl linear unabhängiger zeilen bzw. spalten. vielleicht solltest du dir darüber erst mal etwas durchlesen.
27.06.2011, 18:44	jokuffer	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Rang der Matrix A = Rang der MAtrix AA(transponiert** Ja ist mir k lar aber wenn ich eine Matrix A habe die $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^{2,3} \end{eqnarray}$ ist und voll besetzt ist und aus linearen Vektoren besteht also ist der Rang =2 also $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} A^{T} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_1 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} A^{T} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} A A^{T} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} a_1^{2}+b_1^{2}+c_1^{2}& a_1 a_2 +b_1b_2+c_1c_2 \\ a_2 a_1 +b_2b_1+c_2c_1 &a_2^{2}+b_2^{2}+c_2^{2} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ was ja dem Rang 2 entspricht wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} A^{T}A \end{eqnarray}$ komme ich auf eine Matrix vom Rang 3 das hab ich nur auf dem papier gemacht da ich für die codes so ewig brauche wenn jetzt nciht alle vektoren linear unabhänig sind dann schmeis ich eben ein paar Raus es bleibt aber bei dem selben problem und zwar das $\begin{eqnarray} A^{T}A \end{eqnarray}$ ungleich $\begin{eqnarray} AA^{T} \end{eqnarray}$ und beide unterschiedliche Ränge haben
27.06.2011, 18:53	jokuffer	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Rang der Matrix A = Rang der MAtrix AA(transponiert** oder sind die vektoren die bei $\begin{eqnarray} A^{T} A \end{eqnarray}$ nicht mehr linear unabhänig und ich kann kürzen also einen vektor also linearkombination der anderen beiden darstellen und komme dann deswegen auf Rang 2
27.06.2011, 22:30	jokuffer	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Rang der Matrix A = Rang der MAtrix AA(transponiert** ihrgendjemand nen tipp?

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