Ungleichung

27.06.2011, 20:11

Carnivora

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Ungleichung

huhu
hab an folgender ungleichung zu knobbeln
$\begin{eqnarray*} 7^{(x^{4}) } *3^{(x^{2}) } +5^{|x| } +\sqrt[3]{x^{4} } \leq \frac{7}{5} +x \end{eqnarray*}$

meine idee bist jetzt:

$\begin{eqnarray*} 7^{(x^{4}) } *3^{(x^{2}) } +5^{|x| }+ x^{\frac{4}{3} }-x\leq \frac{7}{5} \end{eqnarray*}$

dann den log (7/5) anwenden mit dem ergebnis

$\begin{eqnarray*} log(7*3)+log(5+x-x) \leq x^{4} *x^{2} +| x | +\frac{4}{3} -1<br /> <br /> log(7*3)+log(5+x-x) \leq x^{6}+| x | +\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

ab hier komm ich nicht weiter und habe noch das gefühl einen katastrophalen fehler gemacht zu haben bzw. math. unsinn zu fabrizieren.
wenn jemand eine rettende idee hat wäre ich sehr dankbar

27.06.2011, 20:21

Dopap

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von Carnivora

... dann den log (7/5) anwenden...

ab hier komm ich nicht weiter und habe noch das gefühl einen katastrophalen fehler gemacht zu haben bzw. math. unsinn zu fabrizieren.

Deine Ehrlichkeit ehrt dich.

Was soll das Anwenden von log(7/5) sein ???

27.06.2011, 20:22

tmo

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Also irgendwas stimmt da nicht.

Die linke Seite ist schon für x=0 größer als die rechte Seite.
Und die linke Seite wächst sicher schneller als linear.

Sprich das, was du da zeigen sollst, ist falsch. Sowohl für positive als auch für negative x.

27.06.2011, 20:24

HAL 9000

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Exotische Struktur Big Laugh

Big Laugh

Eigentlich geht es nur darum, möglichst geschickt zu zeigen, dass für alle reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 7^{(x^{4}) } \cdot 3^{(x^{2}) } +5^{|x|} +\sqrt[3]{x^{4} } > \frac{7}{5} +x \end{eqnarray*}$

gilt, d.h., deine Ungleichung gar keine Lösungen hat.

EDIT: Hab die letzten beiden Beiträge erst jetzt gelesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.06.2011, 20:31

Carnivora

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@ HAL 9000
aber wie zeige ich, dass die lösungsmenge leer ist?

@Dopap
ich hab mir das ganze noch mal angeguckt und gemerkt das es wirklich etwas sehr sinnlos ist..ich hab das ganze falsch angewandt denke ich

27.06.2011, 20:34

tmo

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Ich würde einfach zeigen, dass schon

$\begin{eqnarray*} 2+\sqrt[3]{x^4} > \frac{7}{5}+x \end{eqnarray*}$ gilt, was dann schon alles zeigt.

Hierbei reicht es auch, sich auf nichtnegative x zu beschränken und dann geht das mit einer einfachen Kurvendiskussion der Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \sqrt[3]{x^4}-x \end{eqnarray*}$

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27.06.2011, 20:41

Carnivora

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kann ich den rest den einfach so außer betracht lassen?
außerdem kriege ich trotdem eine lösung raus

27.06.2011, 20:47

HAL 9000

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Er wird nicht außer Betracht gelassen, du hast nur noch nicht genügend bedacht, dass die 2 auf der linken Seite der Ungleichung von tmo durchaus nicht vom Himmel gefallen, sondern wohldurchdacht ist.

Zitat:

Original von Carnivora
außerdem kriege ich trotdem eine lösung raus

Raus damit - wir sind gespannt. Big Laugh

Big Laugh

27.06.2011, 20:53

Carnivora

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gut das mit der pot. lösung hat sich erledigt(noch mehr unsinn) und nein bei der 2..jagut ich kann mir nicht erklären wo sie herkommt, da ich keinen anhaltspunkt finde
und warum da ungleichzeichen plötzlich andersherum ist

27.06.2011, 20:58

HAL 9000

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Für alle reellen x sind die drei Exponenten $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x| \end{eqnarray*}$ jeweils $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , also folgt für den gesamten Teilterm die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} 7^{(x^{4}) } \cdot 3^{(x^{2}) } +5^{|x|} \geq 7^0\cdot 3^0 + 5^0 = 2 \end{eqnarray*}$ .

Damit ist es hinreichend zum Beweis von

$\begin{eqnarray*} 7^{(x^{4}) } \cdot 3^{(x^{2}) } +5^{|x|} +\sqrt[3]{x^{4} } > \frac{7}{5} +x \end{eqnarray*}$ ,

wenn man

$\begin{eqnarray*} 2 +\sqrt[3]{x^{4} } > \frac{7}{5} +x \end{eqnarray*}$

für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zeigt.

27.06.2011, 21:31

Carnivora

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ok verstanden habe ich es jetzt

dass heißt wenn ich jetzt umstelle
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{x^{4} } > -0,6 + x <br /> <br /> x^{4} < (-0,6+x)^{3} <br /> <br /> x^{4} -x^{3} +\frac{9}{5} x^{2} -\frac{27}{25} x <\frac{-27}{125} \end{eqnarray*}$

und aufgrund der potenzierung kann es nciht sein, dass bel. x der reellen zahlen kleiner wird oder?

27.06.2011, 21:41

HAL 9000

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Warum so kompliziert? Wenn du schon eine Polynomungleichung haben willst, warum dann nicht gleich hier $\begin{eqnarray*} u=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$ substituieren und

$\begin{eqnarray*} u^4 - u^3 + 0.6 > 0 \end{eqnarray*}$

nachweisen?

27.06.2011, 21:46

Carnivora

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wie könnte ich es den anders nachweisen?
substitution ist nicht meine stärke daher meide ich sie

27.06.2011, 21:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Carnivora
substitution ist nicht meine stärke daher meide ich sie

Großer Fehler, und unnötige Mehrarbeit.

27.06.2011, 21:57

Carnivora

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ich versuch es immer wieder aber es verwirrt mich unheimlich
zb. diese aufgabe wie kommt du bei einer substitution von $\begin{eqnarray*} u=\sqrt[3]{x} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} u^4 - u^3 + 0.6 > 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} u^4 \end{eqnarray*}$ versteh ich noch aber nicht auf $\begin{eqnarray*} u^3 \end{eqnarray*}$ ...außerdem sehe ich dort keinen leichteren weg

ok verstanden hab ich doch (selbst anwenden ist was anders)
aber warum das leichter ist mir nicht klar, da bei mir dann

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> u^{4} -u^{3} > -0,6<br /> u^{3}(u-1)>-0,6<br /> <br /> u^{3}>-0,6 geht nicht<br /> <br /> u-1>-0,6 \Rightarrow u>0,4 \end{eqnarray*}$
und damit wäre es lösbar

27.06.2011, 22:16

HAL 9000

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Es gibt unzählige Möglichkeiten, $\begin{eqnarray*} u^4 - u^3 + 0.6 > 0 \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, z.B.

1) Analytisch über Kurvendiskussion von $\begin{eqnarray*} f(u) = u^4 - u^3 + 0.6 \end{eqnarray*}$

2) Zerlegung als Summe vollständiger Quadrate

3) AMGM

usw., wenigstems einen davon solltest du hinkriegen. Vielleicht am besten 1), der ist mit verschulten Wissen noch am ehesten hinzukriegen.

27.06.2011, 22:27

Carnivora

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ich sehe trotzdem keine bedeutung zum nachweis das jetzt mit kurvendiskussion nachzuweisen

28.06.2011, 06:40

HAL 9000

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Du siehst keine Bedeutung darin? Aha. verwirrt

verwirrt

Ich habe eine Reihe von Vorschlägen gemacht, die du alle ablehnst, nun gut. Jetzt zeige du mal was Konstruktives. Wink

Wink

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