Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral

27.06.2011, 21:59

MoeJoe

Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral

Meine Frage:
Tag zusammen,

ich möchte folgende Aufgabe lösen, weiß aber nicht, welches Substitutionsschema ich verwenden soll. Habe schon Im Papula, im Vorlesungsskript und im Internet danach geschaut und wende mich letztendlich an die Elite.

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x²}{\sqrt{1+x³} } \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Bedinung $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{ f'(x) }{ f(x) } \, dx \end{eqnarray*}$ existiert in diesem Fall ja nicht.
Mit $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{ x² }{ u } \, dx ; u = \sqrt{1 + x³} \end{eqnarray*}$ komme ich auch nicht weiter.
Wie muss ich also vorgehen, um dieses Integral lösen zu können?

27.06.2011, 22:04

Calvin

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RE: Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral

Zitat:

Original von MoeJoe
Die Bedinung $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{ f'(x) }{ f(x) } \, dx \end{eqnarray*}$ existiert in diesem Fall ja nicht.

Stimmt, die gilt nicht. Aber es gibt noch andere Standardintegrale. In diesem Fall ist es (bis auf einen konstanten Faktor) die Form $\begin{eqnarray*} \int~f(g(x))\cdot g'(x)\,\dx \end{eqnarray*}$

Das sollte dir bekannt vorkommen Augenzwinkern

Es lässt sich mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=g(x) \end{eqnarray*}$ lösen.

Bleibt nur noch die Frage, was g(x) ist. Kannst du die selbst beantworten?

30.06.2011, 13:31

MoeJoe

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RE: Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral
Hallo Calvin,

vielen Dank für deine schnelle Hilfe und entschuldige bitte meine verspätete Antwort.
Mit dem Standardintegral deiner genannten Form komme ich leider auch nicht weiter, irgendwie stellt sich mein Kopf quer.

Wenn ich $\begin{eqnarray*} u = x^2 \end{eqnarray*}$ setze, ist es falsch, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ 1 + x^3 } } \end{eqnarray*}$ nicht die Ableitung von x² ist. Außerdem würde ich beim Substituieren ein x in der Wurzel behalten.

Ich erkenne in diesem Term einfach nichts, was die Ableitung von irgendetwas sein könnte, demnach wäre ich für weitere Hilfe sehr dankbar.

MfG

30.06.2011, 13:34

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral
Machmal muß man eben ein bißchen umformen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3} } \, dx = \frac 1 3 \cdot \int \! \frac{3x^2}{\sqrt{1+x^3} } \, dx \end{eqnarray*}$

Jetzt solltest du aber sehen, daß der Zähler die Ableitung von dem Term unter der Wurzel ist. smile

30.06.2011, 19:45

MoeJoe

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RE: Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral
Hallo klarsoweit,

jap, das erkenne ich, danke.
Sehe ich das richtig, dass dann $\begin{eqnarray*} f[g(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 + x^3} } \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} g'(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ist?

Demnach wäre $\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} du = dx * g'(x) \end{eqnarray*}$ .

Das neue Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(u) \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! f(x^3 + 1) \, \frac{dx}{3x^2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit? Bin mir etwas unsicher mit dem Vorfaktor und der Rücksubstitution.

30.06.2011, 22:44

Calvin

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RE: Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral
Das scheint mir alles ziemlich konfus.

Zitat:

Original von MoeJoe
Sehe ich das richtig, dass dann $\begin{eqnarray*} f[g(x)] = \frac{1}{\sqrt{1 + x^3} } \end{eqnarray*}$ und demnach $\begin{eqnarray*} g'(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ ist?[/latex]

Demnach wäre $\begin{eqnarray*} dx = \frac{du}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} du = dx * g'(x) \end{eqnarray*}$ .

Zunächst mal ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$ . Ansonsten stimmt die obige Aussage.

Zitat:

Das neue Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(u) \, du \end{eqnarray*}$

Soweit auch noch ok. Aber dann darfst du nicht gleich resubstituieren. Erst musst du das Integral lösen. Du erhälst also $\begin{eqnarray*} \int~f(u)\,\dd u=F(u)+c \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt sogar noch den Faktor 1/3 dazunimmst hast du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}\int~f(u)\,\dd u=\frac{1}{3}F(u)+c \end{eqnarray*}$

Was ist denn F(u)? Erst wenn du das ausgerechnet hast, musst du resubstituieren um die Lösung zu erhalten.

01.07.2011, 08:54

klarsoweit

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RE: Integration durch Substitution, unbestimmtes Integral

Zitat:

Original von MoeJoe
Das neue Integral:

$\begin{eqnarray*} \int \! f(u) \, du \end{eqnarray*}$

Das ist richtig, allerdings kommt die alles entscheidende Frage auf, was f(u) ist.

02.07.2011, 16:50

MoeJoe

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Ich bin das ganze nochmal von vorne angegangen und komme letztendlich auf zwei verschiedene Lösungen:

Hier mein Rechenweg von Anfang an:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3} } \, dx = \int \! \frac{x^2}{\sqrt{u} } \, dx \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} u = 1+x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} = u' = 3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \frac{1}{3x^2} du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x^2}{\sqrt{u} } * \frac{1}{3x^2} \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! \frac{3x^2}{\sqrt{u} } * \frac{1}{3x^2} \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! \frac{1}{\sqrt{u} } \, du \end{eqnarray*}$

Ab hier spaltet sich mein Weg. Als erstes habe ich im Papula nach einer passenden Formel gesucht und auch eine gefunden:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{\sqrt{ax + b} } \, dx = \frac{2}{a} * \sqrt{ax + b} \end{eqnarray*}$

In dieser Aufgabe wäre a = 1, x = u, b = 0
Demnach:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*\frac{2}{1} *\sqrt{1*u+0} = \frac{2\sqrt{u} }{3} \end{eqnarray*}$

Rücksubstitution:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\sqrt{1 + x^3} }{3} \end{eqnarray*}$

Mein zweiter Weg endete in dem Versuch die Wurzel und den Bruch als Hochzahl darzustellen und dann standardmäßig abzuleiten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! \frac{1}{\sqrt{u} } \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! \frac{1}{u^\frac{1}{2} } \, du = \frac{1}{3} \int \! \frac{1^\frac{1}{2}}{u^\frac{1}{2} } \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} \int \! \sqrt{\frac{1}{u} } \, du = \frac{1}{3} \int \! (\frac{1}{u})^\frac{1}{2} \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} * \frac{(\frac{1}{u} )^\frac{3}{2} }{\frac{3}{2} } = \frac{2*(\frac{1}{u})^\frac{3}{2}}{9} = \frac{2*(\frac{1}{1+x^3})^\frac{3}{2}}{9} \end{eqnarray*}$

Welches dieser Lösungen stimmt nun? Oder ist es prinzipiell sogar beides das gleiche?

02.07.2011, 16:56

Mulder

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Zitat:

Original von MoeJoe
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \int \! (\frac{1}{u})^\frac{1}{2} \, du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{1}{3} * \frac{(\frac{1}{u} )^\frac{3}{2} }{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Dieser Schritt stimmt nicht, leite das mal wieder ab. Du kannst hier nicht einfach die Potenzregel benutzen, weil in der Klammer so eben nicht einfach nur u, sondern 1/u steht.

Dein zweiter Weg ist insgesamt ziemlich sinnlos. Das führt zu nichts. Die Formel im Papula basiert einfach auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{ax+b}} = (ax+b)^{- \frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und das lässt sich eben ganz simpel mit der Potenzregel integrieren.

Das erste Ergebnis ist also richtig. Aber denk noch an die Integrationskonstante.

02.07.2011, 17:14

MoeJoe

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Vielen Dank für die schnelle(n) Antwort(en)! Über meinen zweiten Lösungsweg werde ich mir nocheinmal Gedanken machen und die Integrationskonstante versuche ich auch nicht mehr zu vergessen. Hammer

Die Bereitschaft und Hilfestellung in diesem Forum sind echt klasse! Weiter so! Danke nochmal!

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