Finite Differenzen Methode/Newton

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kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »
Finite Differenzen Methode/Newton
Hallo! Hab ein riesiges Problem. Mein Numerik-Professor hat mir gerade mitgeteilt, dass er ein Beispiel von mir nicht bewertet und ich nur zur Klausur antreten darf, wenn ich bis heute 12 Uhr eines nachbringe. Ich kann dieses blöde Beispiel aber nicht traurig Die Verzweiflung ist groß!

Das Beispiel lautet:

Gegeben sei die Randwertaufgabe
u''(x) = cos(u(x)) x aus (0,1)
u(0) = u(1) = 0

Verwenden sie die Finite Differenzen Methode zur Diskretisierung der Randwertaufgabe und schreiben sie das resultierende nicht lineare Gleichungssystem in der Form f(u)=0, f:R^n -> R^n mit u aus R^n an.
Formulieren sie das Newton Verfahren für das Gleichungssystem und geben sie die Funktionalmatrix Df(u) explizit an.

BITTE HILFE!!! Kenn mi nix aus. Ich zuerst mal wegen der Methode herum, aber irgendwie überweigt die Verzewiflung.
lenzilenz Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenn mich zwar auch nicht besonders gut aus, aber zunächst einmal musst du u''(x) als Differnzenquotient schreiben.
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

Also

Wie geh ich das an?
lenzilenz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Jetzt musst du das oben einsetzen und nach u(x+2h) umformen. Dann kommt was nichtlineares raus. Den ersten Teil der Aufgabe hast du damit schon fertig.
Das Problem sind die Randbedingungen, die weiß ich ehrlich gesagt auch nicht genau, wie die eingebaut werden sollen. u(0)=0 ist klar, du wählst einfach als Startwert 0.
Das Newtonverfahren sollte eigentlich nicht weiter schwierig sein.
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

also bei mir schaut das jetzt so aus:



Ich wähle die Intervalllänge h=1/n+1
und =ih also die Schrittweite
lenzilenz Auf diesen Beitrag antworten »

Na jetzt setzt das doch mal in deine DGL ein.
 
 
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

bei i=3 ist also h=0.25

x1= 1/4, x2=1/2, x3= 3/4

also wird in dem Fall durch die Randwerte gelten x0=x4=0 oder?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist die übliche Approximation für die zweite Ableitung.

Jetzt stell doch mal das Gleichungssystem auf, für sagen wir mal 4 Knotenpunkte.

EDIT: Nein x0=0, x4=1
lenzilenz Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal hast du in deiner Formel eine Klammer vergessen:
h=1/(n+1)
Das sind viel zu wenige Punkte.
Wie kommst du darauf, dass x4=0??
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich



und kann ich ja berechnen in dem ich u''(1/4) berechne.

dann hab ich stehen diesen langen Bruch = eine Zahl

das mach ich dann ja 3 mal

stimmt das bis dahin?
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

ja x4 ist natürlich 1
lenzilenz Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt setzt das doch endlich in deine DGL ein.
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

Ui, u''(1/4) kann ich nicht berechnen. denn da steht ja u''(1/4) = cos(u(1/4)) und ich kenn ja u nicht
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, für dein Beispiel bekommst du drei Gleichungen raus, weil du ja auch drei unbekannte Werte suchst.

Wie schaut die Rechte Seite deines Systems aus?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ich kenn ja u nicht

Deswegen bekommst du ja auch ein implizites Gleichungssystem, das du mit Newton lösen sollst.
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

1/16 * u''(x1) = u(1/2) -2u(1/4)
1/16 * u''(x2) = u(3/4) - u(1/4)
1/16 * u''(x3) = -2u(3/4) + u(1/2)
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal, es gilt für x1=1/4



Und analog dazu stell bitte die anderen Gleichungen auf-
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »



Wenn ich für u(0) = u(1) = 0 einsetze erhalte ich:

chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, nur bei hast du etwas wegfallen lassen, was nicht wegfallen darf, da du den Wert da nicht kennst.
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

achso, ok. also:
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kleines_pi



Nein nicht -2u(1/4) sondern -2u(1/2)
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »



so stimmts jetzt

Ich versuch mal die matrix zu machen
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Ja jetzt stimmt es.

Jetzt kannst du noch den Cos-Term rüber bringen und dann mit Newton das Nullstellenproblem lösen.

Ich bin jetzt aber offline.
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

danke, kannst du mir noch schnell was sagen: ist dann diese ganze matrix zeug mit dem rübergebrachten cosinus meine funktion f(u)?
chrizke Auf diesen Beitrag antworten »

Schnell geht das nicht.

Aber du kannst es hier nachlesen.

Nur mal zur Info: Hast du überhaupt vorher irgendwas mit Numerik zu tun gehabt?

EDIT: Ja das sagte ich doch bereits. Wenn du die cos-Terme rüber gebracht hast, suchst du davon ja die Nullstelle, weil rechts vom = ja 0 steht.
kleines_pi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein eben nicht. wir haben nur diese eine übung dazu und da sollen wir auf einmal alles können.
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