Reihendarstellung von Funktionen

28.06.2011, 08:45

Icheben3

Reihendarstellung von Funktionen

Hallo

Bestimmen Sie ohne Hilfe der Taylorformel fuür $\begin{eqnarray*} f (x) = \ln(x^2 + 4) \end{eqnarray*}$ formal eine Reihenentwicklung und geben Sie das größtmögliche offene Intervall $\begin{eqnarray*} (a,b) \in R \end{eqnarray*}$ an, auf dem die von Ihnen gefundene Reihe f tatsächlich darstellt

Hinweis: Hinweis Stellen Sie f' als Reihe dar und integrieren Sie anschließend.

Also
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x}{x^2+4} \end{eqnarray*}$

aber wie bekomme ich hier jetzt eine Reihenentwicklung raus?

28.06.2011, 08:57

klarsoweit

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RE: Reihendarstellung von Funktionen
Ich rede jetzt mal ins Blaue, ohne es selbst gerechnet zu haben:

Mache die Umformung $\begin{eqnarray*} \frac{2x}{x^2+4} = \frac{2x}{x^2+2x+4 - 2x} = \frac{1}{(x^2+2x+4)/(2x) - 1} = - \frac{1}{1 - (x^2+2x+4)/(2x)} \end{eqnarray*}$

Und das mal mit der geometrischen Reihe vergleichen.

28.06.2011, 09:11

Manni Feinbein

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RE: Reihendarstellung von Funktionen

Zitat:

Original von Icheben3
Also
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x}{x^2+4} \end{eqnarray*}$

aber wie bekomme ich hier jetzt eine Reihenentwicklung raus?

$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{x^2+4}=\frac x2 \left( \frac 1{1- \left( - \frac {x^2} 4 \right)} \right) \end{eqnarray*}$

28.06.2011, 09:13

klarsoweit

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RE: Reihendarstellung von Funktionen
Ich hab's geahnt. Es geht natürlich noch besser. Hammer

28.06.2011, 09:55

Icheben3

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ah okey..also ergibt das dann als reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac x2 \left(-\frac{x^2}{4}\right)^n \end{eqnarray*}$

und das ist dann integriert $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty -\frac {x^3}{8n+8} \left(-\frac{x^2}{4}\right)^n \end{eqnarray*}$
aber wie kann ich das jetzt wieder als funktion schreiben?

28.06.2011, 09:59

klarsoweit

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Wie bist du jetzt darauf gekommen? verwirrt

28.06.2011, 10:22

Icheben3

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stimmt das denn nicht?

28.06.2011, 10:39

Manni Feinbein

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Zunächst gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac x2 \left(-\frac{x^2}{4}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\left(\frac x2\right)^{2n+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt denk nochmal über deine letzt Frage nach!

28.06.2011, 11:21

Icheben3

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ja da bin ich jetzt auch drauf gekommen.. Hammer

wenn ich das aufleite komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \cdot \left(\frac x2\right)^{2n+2}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1} \cdot \left(\frac {x^2}{4}\right)^{n+1} \end{eqnarray*}$

sieht mir iwie nach ln(...) aus wenn ich die funktion wieder hinschreiben will.. aber wie forme ich das um dass ich auf eine art $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

€: habs schon... smile

hab mich nur in der formelsammlung verlesen...das haßt ja $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot x^n \end{eqnarray*}$

wieder also funktion umgeschrieben komme ich dann aber auf $\begin{eqnarray*} \ln(x^2+4)-\ln(4) \end{eqnarray*}$

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