Vierte zentrale Moment der Normalverteilung

28.06.2011, 11:19

Therry

Vierte zentrale Moment der Normalverteilung

Meine Frage:

Hallo!
Wie wird das vierte zentrale Moment einer normalverteilten Stichprobenvariablen bestimmt?

Meine Ideen:

Im Skript meinen sie dass das durch Differenzieren der charakteristischen Funktion N(0,sigma²) gemacht wird. An einer anderen Stelle ist von der momenterzeugenden Funktion der Normalverteilung die Rede, wobei ich nicht weiß wie diese für die NOrmalverteilung bestimmt wird.
Ihr seht ich steh gerade sehr auf dem Schlauch, deshalb wäre es super wenn mir jemand helfen kann:-)

28.06.2011, 13:03

René Gruber

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An sich ist es völlig egal, ob du die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \varphi_X \end{eqnarray*}$ oder die momenterzeugende Funktion $\begin{eqnarray*} M_X \end{eqnarray*}$ nimmst, beide sind ja im Komplexen eng miteinander verknüpft:

$\begin{eqnarray*} \varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = M_X(it) \end{eqnarray*}$ .

Und du hast nun Probleme beim Bestimmen von $\begin{eqnarray*} M_X(t)=E(\exp(tX)) \end{eqnarray*}$ für eine zentrierte Normalverteilung $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , ja? verwirrt

28.06.2011, 13:12

Therry

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Genau im skript wird ohne jede Begründung gesagt, dass dass für das vierte Zentrale Moment (my´) der normalverteilten Stichprobenvariablen X1,... Xn gilt:
my`- sigma^4=2 sigma ^4.

Auch wird gemeint dass man den vierten zentrierten Moment über das Ableiten der Charakt. Fnkt bestimmen kann. Aber das ist mir ziemlich schleierhaft wie das funktionieren soll. ?

28.06.2011, 13:18

René Gruber

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Zitat:

Original von Therry
Auch wird gemeint dass man den vierten zentrierten Moment über das Ableiten der Charakt. Fnkt bestimmen kann.

Das stimmt schon. Wir sollten uns jetzt zunächst aber mal einigen: Charakteristische Funktion oder momenterzeugende Funktion?

Nicht, dass es groß einen Unterschied macht (s.o.), aber ein dauerndes Hin- und Her stiftet nur Verwirrung.

28.06.2011, 13:19

Therry

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charakteristische Funktion:-)

28.06.2011, 13:34

René Gruber

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Gut. Der Zusammenhang zu den Ableitungen ist nicht schwer zu erkennen: Differenziere doch einfach mal $\begin{eqnarray*} \varphi_X(t) = E(\exp(itX)) \end{eqnarray*}$ nach der Variablen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Gemäß Kettenregel kommt da raus

$\begin{eqnarray*} \varphi_X'(t) = E(\exp(itX)\cdot (iX)) = i\cdot E(X\exp(itX)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_X''(t) = i^2\cdot E(X^2\exp(itX)) = -E(X^2\exp(itX)) \end{eqnarray*}$

usw.

$\begin{eqnarray*} \varphi_X^{(k)}(t) = i^k\cdot E(X^k\exp(itX)) \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man das ganze für Argument $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ , so hat man direkt die Beziehung $\begin{eqnarray*} \varphi_X^{(k)}(0) = i^k\cdot E(X^k) \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -tem Moment der Zufallsgröße und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ter Ableitung ihrer charakteristischen Funktion.

Bleibt also die konkrete Berechnung von $\begin{eqnarray*} \varphi_X \end{eqnarray*}$ für dein $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ :

Die Dichte $\begin{eqnarray*} f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma}\cdot \exp\left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} \right) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ eingesetzt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp(itx)\cdot f_X(x) ~ \dd x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}~\sigma}\cdot \int\limits_{-\infty}^{\infty} \exp\left(itx-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

das gilt es jetzt noch zu vereinfachen (Stichwort: quadratische Ergänzung bzgl. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dort im Argument der Exponentialfunktion).

28.06.2011, 13:43

Therry

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Super vielen dank,
aber wie ich nun auf den vierten zentralen Moment der Normalverteilung komme vertseh ich trotzdem nicht.

28.06.2011, 13:46

René Gruber

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Die Zentrierung habe ich doch schon vorweggenommen: Das vierte zentrale Moment von $\begin{eqnarray*} Y\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ ist gleich

$\begin{eqnarray*} E((Y-E(Y))^4) = E((Y-\mu)^4) \end{eqnarray*}$ .

Geht man nun von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} X:=Y-\mu \end{eqnarray*}$ über, dann ist also $\begin{eqnarray*} E(X^4) \end{eqnarray*}$ gesucht für eben jenes $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ .

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