komisches integral

28.06.2011, 12:11

breakthrough

komisches integral

hallo,
könnte mir jemand erklären wie man
$\begin{eqnarray*} ae^{-ax} dx \end{eqnarray*}$ ableitet?
das ergebnis lautet $\begin{eqnarray*} - \frac{1}{e^{ax}} \end{eqnarray*}$

welche regeln wurden hier bitte angewandt?

28.06.2011, 12:37

breakthrough

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RE: komisches integral
ich meine natürlich integrieren, nicht ableiten smile

!!!
also $\begin{eqnarray*} \int ae^{-ax} dx \end{eqnarray*}$

28.06.2011, 12:40

Equester

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Das a ist ein Faktor, der konstant ist, da er nicht von x abhängt. Ziehe ihn vor das
Integral. Dann haste eine einfache e-Funktion zu integrieren Augenzwinkern

28.06.2011, 12:52

breakthrough

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$\begin{eqnarray*} \int ae^{-ax} = a \int e^{-ax} \end{eqnarray*}$
da hab ich aber noch das blöde -a im exponenten...
gibt es da eine regel?
ich weiß dass $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ inegriert wieder $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$ ergibt. ergibt dann $\begin{eqnarray*} e^{-ax} \end{eqnarray*}$ als integral $\begin{eqnarray*} -e^{-ax} \end{eqnarray*}$ ?

28.06.2011, 12:56

Equester

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Das muss man natürlich wissen.
Schau mal hier (zweite Seite) das Beispiel an: Klick mich

28.06.2011, 13:21

breakthrough

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ich versuch es mal:
$\begin{eqnarray*} u = -ax \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} du/dx = -a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dx = du/a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \int e^u \frac{du}{-a} = a \int e^u \frac{1}{-a} du = a \cdot \frac{1}{-a} \int e^u du = a \cdot -\frac{1}{a} \cdot -e^u = -1 \cdot -e^{-ax} \end{eqnarray*}$ verwirrt

28.06.2011, 13:30

Equester

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An sich sieht das sehr gut aus. Aber ein Fehler ist dennoch drin.

Die Integration von $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ (oder bei uns $\begin{eqnarray*} e^u \end{eqnarray*}$ ) ergibt?

28.06.2011, 13:43

breakthrough

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achja hoppla smile

danke

integral von e^x ist e^x.
also erhalte ich $\begin{eqnarray*} -1 \cdot e^{-ax} \end{eqnarray*}$

geschockt

ich habe grad noch in ähnliches beispiel gesehen da wurde sowas aber komplett anders gelöst mit $\begin{eqnarray*} \int f(ax+b) = \frac{1}{a} F(ax+b) \end{eqnarray*}$
woran erkenn ich bei dieser funktion bitte dass ich das anwenden kann und wie wende ich das an? verwirrt

28.06.2011, 13:53

Equester

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Yep genau, jetzt stimmts Augenzwinkern

Dein gefundenes Beispiel kann ich nicht nachvollziehen. f(ax+b) verwirrt

Was soll das sein? Hast du mir die Seite? Augenzwinkern

28.06.2011, 14:08

breakthrough

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es wird nicht näher erklärt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty a e^{-ax} dx \end{eqnarray*}$
ist gegeben.
dann der "hint": $\begin{eqnarray*} \int f(ax+b) = \frac{1}{a} F(ax +b) \end{eqnarray*}$
und dann kommt man sofort als nächstest auf die zeile:
$\begin{eqnarray*} a \cdot e^{-ax} \cdot (-\frac{1}{a}) \end{eqnarray*}$ wo sich das a natürlich wegkürzt.. geschockt

edit: und ich glaube die regel heißt "umkehrung der Kettenregel"...

28.06.2011, 14:36

Equester

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Hab ich so noch nicht gesehen :P

Wenn alles stetig differenzierbar ist und eine Umkehrbarkeit vorliegt, dann gilt das.
Das zu zeigen geht aber ein wenig weiters (,wenns auch nicht allzuviele Zeilen sind^^).

Einfach merken: $\begin{eqnarray*} \int e^xdx=e^x \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} \int e^{ax}dx=\frac{1}{a}e^{ax} \end{eqnarray*}$

28.06.2011, 14:38

breakthrough

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okay, danke für die hilfe! super sache smile

28.06.2011, 14:41

Equester

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Gerne,...schau bei Zeiten nochmals rein.
Vllt angle ich noch jemand, der noch ein zwei Worte zur "Umkehrung der Kettenregel" verlieren kann Augenzwinkern

28.06.2011, 15:05

Bjoern1982

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int f(ax+b) = \frac{1}{a} F(ax +b) \end{eqnarray*}$

Dass dieser Zusammenhang plausibel ist, lässt sich zunächst mal dadurch zeigen, dass wenn man die rechte Seite ableitet auch wieder das rauskommt was im Integranden steht.
Dazu benötigt man die Kettenregel und immer dann wenn die "innere Funktion" linear, also von der Form ax+b ist (und wirklich nur dann!) , dann darf man laut obigem "hint" einfach nur eine Stammfunktion von f bilden und dann durch die innere Ableitung dividieren (welche ja dann konstant a ist).
Sobald die innere Funktion nicht mehr linear ist dann klappt das Ganze nicht mehr.
Viele denken sich nämlich "Och das ist ja schön einfach" und dann entstehen auf einmal auch solche falschen Sachen wie:

$\begin{eqnarray*} \int \! e^{x^2-x} \, dx=\frac{1}{2x-1} \cdot e^{x^2-x}+C \end{eqnarray*}$

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