Laplace-Rücktransformation mittels Faltungssatz

28.06.2011, 13:13

Hilfesuchender777

Laplace-Rücktransformation mittels Faltungssatz

Ich habe folgende Funktion im Spektralbereich gegeben:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}[f](s) = \frac{1}{(s^2 + 1)^2} \end{eqnarray*}$

Das Ganze soll mittels des Faltungssatzes rücktransformiert werden.

Frage: Ich sehe nicht, wie mir der Faltungssatz hier weiterhilft.

Faltungssatz (für Laplacetrafo): $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}[f * g](s) =\mathcal{F}[f](s) \cdot \mathcal{F}[g](s) \end{eqnarray*}$

Ich sehe nicht mal die Ansatzmöglichkeit. verwirrt

28.06.2011, 13:16

Hilfesuchender777

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RE: Laplace-Rücktransformation mittels Faltungssatz

Zitat:

Original von Hilfesuchender777

Faltungssatz (für Laplacetrafo): $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}[f * g](s) =\mathcal{F}[f](s) \cdot \mathcal{F}[g](s) \end{eqnarray*}$

Hier habe ich mich übrigens vertippt. Es muss heißen:

Faltungssatz (für Laplacetrafo): $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}[f * g](s) =\mathcal{L}[f](s) \cdot \mathcal{L}[g](s) \end{eqnarray*}$

Laplace-Transformation natürlich, nicht Fourier.

28.06.2011, 18:15

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} F(s) = \frac{1}{(s^2+1)^2} = \frac{1}{s^2+1} \cdot \frac{1}{s^2+1} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du beide Faktoren einzeln rücktransformieren, und diese anschließend falten.

28.06.2011, 18:35

Hilfesuchender777

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Ist das "Sternchen" bei der Faltung denn wirklich als "Malzeichen" zu verstehen? Die einzelnen Faktoren rücktransformiert sind ja einfach nur sin(t). Muss ich dann jetzt einfach $\begin{eqnarray*} sin^2(t) \end{eqnarray*}$ laplacetransformieren?

28.06.2011, 19:19

Hilfesuchender777

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Hat sich erledigt. Ich sehe jetzt erst, wie die Faltung überhaupt definiert ist. Blödes Skript. Haut erst den Faltungssatz für Laplacetransformationen hin, nur um 5 Seiten später überhaupt hinzuschreiben, was eine Faltung ist. verwirrt

10.07.2011, 11:21

Ben_Ben1986

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Faltungssatz
Hey Leute,
ich schreib am Mittwoch Klausur in Mathe 2 - mit ein Thema is
die Laplace Transformation insbesondere die Anwendung des Faltungssatzes...
Ich kapier so im groben wies geht und kann au ne Differentialgleichung mit Laplace lösen....
Bis dann der Faltungssatz kommt...^^

Kann mir hier irgendwer weiterhelfen betreff Faltungsintegral und so??
Ich hab extreme Probleme in puncto "was mach ich mit den zwei funktionen (f1(t),f2(t))"
und warum steht da plötzlich n u??
es verwirrt mich etwas..
vielen dank euch allen ma smile

10.07.2011, 11:50

Q-fLaDeN

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Bitte beschreibe genau wo dein Problem liegt.

Die Faltung ist definiert als

$\begin{eqnarray*} f(t) * g(t) = \int_0^t~f(u) \cdot g(t-u)~\dd u \end{eqnarray*}$

Da könnte jetzt genauso stehen

$\begin{eqnarray*} f(t) * g(t) = \int_0^t~f(Hans) \cdot g(t-Hans)~\dd Hans \end{eqnarray*}$

das u hat also keine spezielle Bedeutung, es ist einfach die Variable über die integriert wird.

Die Faltung f(t) * g(t) gibt dann eben genau diejenige Funktion an, die im Zeitbereich entsteht, wenn man das Ergebnis der Multiplikation der beiden transformierten, rücktransformiert.
Also $\begin{eqnarray*} F(s) \cdot G(s) = H(s) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(t) * g(t) = \mathcal L ^{-1}\{H(s)\} \end{eqnarray*}$

10.07.2011, 16:25

Ben_Ben123

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Mein Problem liegt darin, dass ich nicht weiß was wo bzw wie einzusetzen ist und
wie dann damit weiterverfahren wird...
Beispiel:
y'+3y=-cos(t) y(0) sei 5

Ich transformiere dies in den Bildbereich und erhalte
(bitte korrigieren, falls falsch) :

Y(s)=s/(s²+1²(s+3))+5/(s+3)

Durch Zerlegen in ein Produkt sieht das dann wie folgt aus:

Y(s) = s/(s²+1²)*1/(s+3)+5/(s+3)

Rot hervorgehoben die zwei Brueche die zu falten sind, richtig??
einmal ergibt sich dann nach TraFoTabelle
f1(t) = -cos(t) sowie f2(t)=e(¯³t) sowie den Rest der Gleichung mit +5e(¯³t)
wie setze ich das nun ins Faltungsintegral ein und wie komme ich zum endergebnis??
wenn man mir diese vorgehensweise ein zwei mal ausführlich idiotensicher vorrechnen
könnte würd ichs bestimmt raffen ^^ smile

Danke mal für die schnelle antwort

10.07.2011, 16:28

Ben_Ben123

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Gibts da im Internet irgendwo aufgaben zu mit musterlösungen (ausführlich...)??
hab gesucht aber nur aufgaben ohne lsg gefunden unglücklich

es geht mir nur ums anwenden des faltungssatz, den rest hab ich, so glaube ich begriffen :P

10.07.2011, 17:33

Q-fLaDeN

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Du hast beim Y(s) das "minus" vom Kosinus vergessen, in der Faltung stehts aber wieder mit drin, daher denke ich das war ein Tippfehler deinerseits.

Sonst ist das soweit auch richtig.

Nun musst du also berechnen

$\begin{eqnarray*} -\cos(t) * e^{-3t} \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} f_1(t) = -\cos(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(t) = e^{-3t} \end{eqnarray*}$

Nun nochmal die Definition:

$\begin{eqnarray*} f_1(t) * f_2(t) = \int_0^t~f_1(u) \cdot f_2(t-u)~\dd u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1(u) \end{eqnarray*}$ ist in unserem Fall $\begin{eqnarray*} -\cos(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(t-u) = e^{-3(t-u)} \end{eqnarray*}$

eingesetzt ergibt das also

$\begin{eqnarray*} f_1(t) * f_2(t) = \int_0^t~-\cos(u) \cdot e^{-3(t-u)}~\dd u = -e^{-3t} \cdot \int_0^t~\cos(u) \cdot e^{3u}~\dd u \end{eqnarray*}$

Das verbleibende Integral kannst du dann mittels Integraltafel o.Ä. berechnen.

\Edit: Noch als Hinweis, du kannst beim Falten natürlich auch

$\begin{eqnarray*} f_1(u) = e^{-3u} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(t-u) = -\cos(t-u) \end{eqnarray*}$ wählen (die Faltung ist kommutativ), das wäre hier aber ungeschickt, da das entstehende Integral dann schwerer zu lösen ist.

11.07.2011, 13:02

Ben_Ben123

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Warum wird da -e^(-3t) vor das Integral gezogen und das t hinterm Integral verschwindet??
Wennd mir das nu noch erklären kannst bzw die Regel oder Gesetzmässigkeit
die da dahinter steckt dann wär ich dir sehr zu Dank verpflichtet *g*
Ja, ich geb zu mir mangelts mathematisch gesehn an Grundkenntnissen *schäm*
Gott

Vielen Dank großer Häuptling der Mathematik

11.07.2011, 14:24

Q-fLaDeN

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Es gilt

$\begin{eqnarray*} e^{a+b} = e^a \cdot e^b \end{eqnarray*}$

daher also

$\begin{eqnarray*} e^{-3(t-u)} = e^{-3t+3u} = e^{-3t} \cdot e^{3u} \end{eqnarray*}$

Da der Faktor $\begin{eqnarray*} e^{-3t} \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ , also der Variable über die integriert wird, abhängt, kann man ihn vors Integral ziehen.

Das minus vor diesem Faktor stammt von $\begin{eqnarray*} -\cos(u) = (-1) \cdot \cos(u) \end{eqnarray*}$ , wurde also auch mit vors Integral gezogen.

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