unbekannten Erwartungswert schätzen

28.06.2011, 14:00

Hansiwansi

unbekannten Erwartungswert schätzen

Hi!

Ich will bei einer Aufgabe den unbekannten Erwartungswert aus einem normalverteilten Zufallsvorgang X schätzen.Ich weiß, dass der Erwartungswert des Schätzers gleich dem unbekannten Parameter sein muss

Theoretisch verstehe ich das Ganze,nur wie man es praktisch anwendet nicht.

Ich habe folgenden Schätzer gegeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \sum\limits_{k=1}^n Xi+\frac{1}{n}Xn \end{eqnarray*}$

->über dem Summenzeichen steht n-1!hat mit dem formeleditor irgendwie nicht geklappt.

ich muss jetzt ja zeigen dass E( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1} \sum\limits_{k=1}^n Xi+\frac{1}{n}Xn \end{eqnarray*}$ )=U ist (U=unbekannter Erwartungswert).

aber ich weiß nicht wie ich den Erwartungswert hier berechnen soll.Wie muss ich denn mit dem Xi,Xn und n dabei umgehen.

Wär cool, wenn mir jemand helfen könnte!

28.06.2011, 15:40

Mazze

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Habe es mal in die Hochschule verschoben .

Punkt 1 :

\sum_{k=1}^{n-1} = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} \end{eqnarray*}$

Punkt 2 :

Das ist wohl dein Schätzer :

$\begin{eqnarray*} \overline{X} = \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}X_k + \frac{1}{n}X_n \end{eqnarray*}$

Zur Aufgabe : Die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind entsprechend X iid-Verteilt (zumindest lese ich das aus der Aufgabe), sprich Normalverteilt mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen (oder zu widerlegen) :

$\begin{eqnarray*} E(\overline{X}) = \mu \end{eqnarray*}$

Nutze dafür die Linearität des Erwartungswertes.

28.06.2011, 15:45

René Gruber

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Zitat:

Original von Mazze
$\begin{eqnarray*} \overline{X} = \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}X_k + \frac{1}{n}X_n \end{eqnarray*}$

Die Bezeichnung $\begin{eqnarray*} \overline{X} \end{eqnarray*}$ ist an sich zu vorbelastet, um sie für diesen hier vorliegenden anderen Schätzer zu verwenden. Augenzwinkern

28.06.2011, 15:50

Mazze

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Hoffen wir mal dass das zu keinen Irritationen führt. Didaktisch klug war es aber nicht, das geb ich zu Big Laugh

28.06.2011, 16:12

Hansiwansi

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was ist denn die linearität des erwartungswertes? das problem bei mir,dass ich nicht weiß, wie ich mit dem schätzer rechnen soll.bei früheren aufgaben konnte man einfach die formeln für den erwartungswert nutzen, aber ich weiß nicht wie ich E( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n-1}X_k + \frac{1}{n}X_n \end{eqnarray*}$ ) berechnen soll verwirrt

28.06.2011, 16:25

Mazze

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Tja, für den Erwartungswert gilt (a,b Konstante, X,Y Zufallsvariablen)

$\begin{eqnarray*} E(aX +bY) = aE(X) + bE(Y) \end{eqnarray*}$

eben genau das, was die Linearität ausdrückt (sofern die Erwartungswerte existieren). Sollte eigentlich bekannt sein.

28.06.2011, 19:49

Hansiwansi

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ok danke!ich weiß leider immer noch nicht, wie ich bei der aufgabe vorgehe.kann mir jemand wenigstens den anfang vorrechnen und mir so auf die sprünge helfen? wär nett Freude

29.06.2011, 10:12

Mazze

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Also zunächst mal ist

$\begin{eqnarray*} E(X_i) = \mu \end{eqnarray*}$

für alle i. Jetzt musst Du doch wirklich nur noch die Linearität benutzen und hast es dazustehen.

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