Beweis durch vollständige Induktion

28.06.2011, 17:49

Lilly_271

Beweis durch vollständige Induktion

Meine Frage:
Sn = 1/n * sum von x=1 zu n^2 x = (n^3+n)/2

Kann ich das mit Beweis durch vollständiger Induktion beweisen?

Meine Ideen:
Für A(1) bekomme ich das noch hin, aber wie sieht es für den Nachfolger n+1 aus?

28.06.2011, 17:58

lgrizu

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RE: Beweis durch vollständige Induktion
Du sollst also zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \cdot \sum_{x=1}^{n^2} x =\frac{n^3+n}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zuerst einmal könnte man beide Seiten der Gleichung mit n multiplizieren, das vereinfacht die Induktion.

Dann mach einmal vor, wie weit du kommst. Dazu kannst du gerne unseren Formeleditor verwenden.

28.06.2011, 18:13

Lilly_271

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RE: Beweis durch vollständige Induktion
bekomme das mit den Formel nicht richtig hin...

also induktionsbehauptung wäre für den nachfolger n+1 gilt:

Sum von n=1 zu (n+1)² x = ((n+1)³+n)/2

I. Beweis:
Sum von n=1 zu (n+1)² x = sum von x=1 zu n² x+n+1 = (n³+n)/2 +n+1

(n³+n+2(n+1))/2

stimmt das bis hier? wie kann ich dann weiter machen?

29.06.2011, 09:14

lgrizu

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RE: Beweis durch vollständige Induktion
Du kannst wirklich gerne unseren Formeleditor verwenden.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{x=1}^{(n+1)^2}x=\sum_{x=1}^{n^2}x+n+1=\frac{n^3+n}{2}+n+1 \end{eqnarray*}$

Das steht bei dir, richtig?

Das ist aber ziemlich daneben, wie kommst du denn auf folgendes:
$\begin{eqnarray*} \sum_{x=1}^{(n+1)^2}x=\sum_{x=1}^{n^2}x+n+1 \end{eqnarray*}$ ?

Zumal auch deine Vorraussetzung ziemlcih daneben ist, es ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \cdot \sum_{x=1}^{n^2} x =\frac{n^3+n}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wir multiplizieren zuerst beide Seiten der Glecihung mit n, was erhalten wir?

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