inhom. Differentialgleichung

28.06.2011, 16:53

fuxxx

inhom. Differentialgleichung

Meine Frage:
y´´+8y´-9y=2e^-9x

ist gegeben. Die Lösung des homogenen Teils ist einfach, ich bekomme jedoch irgendwie die inhomogene nicht gelöst!

Meine Ideen:
homogener Teil:

C1e^x+C2e^-9x

für den inhomogenen Teil hätte ich jetzt den speziellen Ansatz gewählt:
ae^{\gamma x} , hätte dies zweimal abgeleitet und in die obige Gleichung einfgesetzt. Leider bekomme ich dann beim Koeffizientenvergleich
81a-72a-9a=2 raus, was ja keinen Sinn ergibt!

Was mache ich bei dieser einfachen Diffgleichung falsch?
Freue mich über Hilfe

28.06.2011, 19:37

Johnsen

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Dein homogener Teil ist richtig! Versuch doch jetzt mal "Variation der Konstanten".

Gruß

Johnsen

28.06.2011, 19:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von fuxxx
C1e^x+C2e^-9x

für den inhomogenen Teil hätte ich jetzt den speziellen Ansatz gewählt:
ae^{\gamma x}

Da dieses dein $\begin{eqnarray*} \gamma=-9 \end{eqnarray*}$ ist, klappt das so nicht: Du bist da im sog. Resonanzfall, wie du am Anteil $\begin{eqnarray*} C_2e^{-9x} \end{eqnarray*}$ der homogenen Lösung unschwer erkennen kannst. In diesem Fall musst du den partikulären Ansatz $\begin{eqnarray*} axe^{\gamma x} = axe^{-9x} \end{eqnarray*}$ wählen.

29.06.2011, 11:24

fuxxx

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Danke schon mal für die guten Tipps smile

Ok, ich rechne mal vor:

y´ $\begin{eqnarray*} = xe^{- 9x} - 9e^{-9x} \times ax \end{eqnarray*}$

y´´= e^{- 9x} - 9xe^{- 9x} + 81axe^{- 9x} - 9xe^{- 9x} (sorry, aber hier ist irgendein Fehler drin bei der Formeldarstellung- bin da noch nicht so gut mit Augenzwinkern

)

So, dann habe ich das ganze in die Ausgangsform eingesetzt und bekomme folgendes (nach Kürzen von= e^-9x)

-9x+81ax-9x+8x-72ax-9ax=2

So, dann verschwinden doch aber wieder die a´s und ich bekomme 1/5 für x raus, was eigentlich die Lösung für a sein sollte....

29.06.2011, 12:03

breakthrough

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Hallo ich beschäftige mich auch gerade mit dem thema, und wenns recht ist versuche ich mal es weiter zu lösen:

also Ansatz $\begin{eqnarray*} Ae^{-9x} \end{eqnarray*}$ ist ein Resonanzfall --> in dem fall multipliziert man den Ansatz mit x. Der Asatz lautet also

$\begin{eqnarray*} x_{(p)} xAe^{-9x} \end{eqnarray*}$

Erste Ableitung nach x:
$\begin{eqnarray*} f = x, f' = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g = e^{-9x}, g' = -9e^{-9x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cdot [(x \cdot (-9e^{-9x}) + (1 \cdot e^{-9x})) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cdot [(-9xe^{-9x}) + e^{-9x} = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-9x} \cdot (-9Ax +a) \end{eqnarray*}$

Zweite Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f = e^{-9x}, f' = -9e^{-9x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g= (A-9Ax), g' = -9A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [e^{-9x} \cdot (-9A)] + [(A-9Ax) \cdot (-9e^{-9x})] = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-9x} \cdot -9A + ( -9e^{9x}A + 18Axe^{-9x}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-9x} -9A - 9e^{-9x}A + 18Axe^{-9x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{-9x} \cdot (-9A -9A + 18Ax) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9e^{-9x}A \cdot (-A-A + 2Ax ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9e^{-9x}A \cdot (-2A + 2Ax) \end{eqnarray*}$

stimmen die Ableitungen so?
Die dinger gehören als nächstes in die DGL eingesetzt und nach Koeffizientenvergleich aufgelöst...

29.06.2011, 14:08

René Gruber

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In der Rechnung zur zweiten Ableitung ist folgendes zu entdecken:

$\begin{eqnarray*} 9\cdot 9 \stackrel{?}{=}18 \end{eqnarray*}$ geschockt

Bitte korrigieren.

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