Erfolgsrun

28.06.2011, 20:38

chillerStudent

Erfolgsrun

Guten Tag,

es geht um folgende Übungsaufgabe:

Ein Versuch mit Ergebnisraum $\begin{eqnarray*} \left\{0,1\right\} \end{eqnarray*}$ (0=Niete, 1=Treffer) und Trefferwahrscheinlichkeit p wird solange unabhängig wiederholt, bis ein Erfolgs-Run der Länge r beobachtet wird. Sei Xi die Zufallsvariable "Ergebnis des i-ten Versuchs". Sei

$\begin{eqnarray*} T_r:=min\left\{ k:X_k=X_{k-1}=...= X_{k-r+1}=1\right\} \end{eqnarray*}$

die Wartezeit bis zum Ende des ersten Erfolgs-Runs der Länge r.

Berechnen Sie im Fall p = 1/2 die Wahrscheinlichkeiten P(T_3 = 3), P(T_3 = 4), P(T_3 = 5),
P(T_3 = 6) und P(T_3 = 7).

Meine Idee:

Für P(T_3 = 3) hab ich (1/2)^3 = 1/8 laut definition.
Für den Rest gilt die Rek-Formel $\begin{eqnarray*} P(T_r=k)=\sum\limits_{j=1}^r p^{j-1}\left(1-p\right) P(T_r=k-j) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nun nicht, wie ich diese rek-formel anwenden soll. Ich hab für j einfach 1,2 und 3 eingesetzt und diese addiert. Für j=1 erhalte ich 1/16 und für j=2=3 erhalte ich 0.
Also ist P(T_3=4)=1/16

Stimmt das??

29.06.2011, 02:28

frank09

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RE: Erfolgsrun

Zitat:

Also ist P(T_3=4)=1/16

Genau, das macht doch Sinn. Eine Wartezeit von 4 Versuchen kann nur heißen:
0,1,1,1 also $\begin{eqnarray*} P(T_3=4)=1/16 \end{eqnarray*}$

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