Differentialrechnung, Stetigkeit |
| 28.06.2011, 22:31 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Differentialrechnung, Stetigkeit Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit: f(x) = (beide Funktionen) ln(x²+1,5x)+4,5 für x kleiner gleich -2 für x > -2 Meine Ideen: g(x)= ln(x²+1,5x)+4,5 h(x)= Stetigkeit: g(x) = h(x) g(-2) = h(-2) ln(1) = ln(1) = 0/0 --> unendlich Die Funktion ist nicht stetig!! |
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| 29.06.2011, 00:42 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
na ja, bei Test auf Gleichheit am Ende ein (f) Falsch oder ein (w) Wahr setzen. warum ist 0/0 unendlich? Ist h(-2) definiert? Hier wäre ein LIMES angebracht. |
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| 29.06.2011, 13:36 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm... jetzt verstehe ich irgendwie garnichts mehr. Meinst du wegen dem Limes, dass ich x gegen unendlich laufen lassen soll?! Also bei 0/0 = unendlich dachte ich mir, dass dies ja nicht definiert ist und daher unendlich ist.. also = ist es auf jedenfall nicht. Wenn ich die beiden Gleichungen gleichsetze, dann ist die Aussage g=h Falsch! Ab welcher Stelle sollte ich deiner Meinung nach, noch einmal neu anfangen? Ganz liebe Grüße |
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| 29.06.2011, 13:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, sondern den Limes für x gegen -2.
Wie man leicht an dem Beispiel erkennen kann. 
Jetzt bilde doch erstmal den Grenzwert der Funktion h für x gegen -2. |
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| 29.06.2011, 14:14 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also wenn ich den Grenzwert von h(x) berechne: lim x-> -2 dann kommt ja meine beschriebene Gleichung 0/0 raus, also ein unendlicher Grenzwert! Wenn ich f(x) lim x-> -2 berechne kommt raus: ln(1) +4,5 = 4,5 (oder fällt die 4,5 weg?) Beide Grenzwerte stimmen also nicht überein. Demnach ist die Funktion nicht stetig? |
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| 29.06.2011, 14:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein nochmal, wie ich dir versuchte an meinem Beispiel klar zu machen. Laß mal in das x gegen Null laufen. Offensichtlich ist -2 eine Nullstelle vom Zähler, so daß du aus dem Polynom im Zähler den Faktor (x + 2) abspalten kannst. |
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| 29.06.2011, 14:37 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also wenn ich für x einfach 0 einsetze, habe ich doch wieder 0/0... Oder wie meinst du es genau?? bin gerade verwirrt. Ich habe einfach keine Ahnung, was du jetzt meinst, sry |
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| 29.06.2011, 14:45 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, du hast 0/0, trotzdem ist der Grenzwert nicht unendlich. Man kann nämlich x²/x sehr schön zu x kürzen und dann das x problemlos gegen Null laufen lassen. |
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| 29.06.2011, 17:32 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay danke ;-) Also ich rechne die Aufgabe jetzt nochmal in Ruhe und poste dann weiter ;-) |
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| 29.06.2011, 17:50 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich habe jetzt nochmal 3 Bedingungen für die Stetigkeit einer Funktion aus meinem Skript: 1) xo muss Element des Definitionsbereiches sein 2) Es muss ein Grenzwert von f für x->x0 existieren (konvergrenz) 3) lim x->xo f(x) = f(x0) Diese drei Bedingungen führe ich einfach mit beiden Funktionen parallel durch: 1) x0 = -2 ist im Definitionsbereich R 2) es muss ein Grenzwert existieren Bei der ln Funktion ist dieser 4,5 bei dem Bruch ist der Grenzwert 0 (also x²/x = 1x -> 0) 3) lim x-> -2 f(x) = f(xo) bei beiden erfüllt somit ist die Funktion stetig?! Diese Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen... 
dabei ist es nur eine Teilaufgabe 
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| 29.06.2011, 19:36 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nicht nervös werden! f(x) setzt sich aus 2 Teilfunktionen g(x) x<=-2 und h(x) x>-2 zusammen. der linke limes x-> -2 ist simpel und gleich g(-2)=4.5 der rechte limes x->-2 ist wiefolgt: zuerst von h(x) eine Polynomdivision durchführen wodurch folgt. ( Nachrechnen!) Nun ist er rechte limes ebenfalls simpel und = ... sind nun beide Limites gleich und gleich dem Funktionswert, dann ist die Funktion f an der Stelle x0=-2 stetig. |
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| 29.06.2011, 19:44 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aaah super, danke :-) Der Grenzwert der Polynomdivision ist auch 4,5 und somit haben beide Funktionen den Grenzwert von 4,5 und sind somit an der Stelle -2 stetig. Also die Polynomdivision ist klar wie ich das rechne ( hatte ich in der 10. Klasse) aber ich bin garnicht darauf gekommen, die dort an der Stelle anzuwenden. Könntest du mir sagen, wieso man die dort anwendet? Liebste Grüße |
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| 29.06.2011, 21:02 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich verstehe nur nicht, wieso ich bei der ersten Teilfunktion einfach die Funktion gegen -2 laufen lasse ( also -2 halt einsetze) und wieso ich das bei der 2. Teilfunktion nicht genauso machen darf, sprich einfach die -2 anstann der x einsetzen und dann gucken was rauskommt (0/0) Wieso muss ich nur die 2. Funktion umformen?! Vielen Dank für deine Mühe und deine Geduld ;-) |
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| 30.06.2011, 08:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Diesen Schritt sollte Anna10 nach meinem Hinweis selbst durchführen.
Die erste Teilfunktion ist an der Stelle x=-2 definiert, also kann man ganz simpel den Funktionswert für x=-2 ausrechnen. Bei der 2. Teilfunktion ist x=-2 nicht im Definitionsbereich. Also muß man da den Grenzwert für x gegen -2 bilden. |
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| 30.06.2011, 11:59 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo hallo, also ich glaube ich habe jetzt etwas herausbekommen!! Bei der 2. Teilfunktion, wenn ich die gegen -2 streben lasse, ist es ja 0/0 also undefiniert. Demnach wende ich bei einem solchen Bruch die Regel von L'Hopital an!! ( hatte ich erst vor kurzen wiederholt 
)Wenn ich dann -2 einsetze in die L'Hopital Gleichung komme ich auf einen Grenzwert von 4,5. Dieser stimmt mit dem Grenzwert der 1. Teilfunktion überein! Demnach ist die Funktion stetig Ich hoffe das ist jetzt so richtig? Der L'Hopital erschreint mir hier logisch |
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| 30.06.2011, 12:24 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist richtig, allerdings ist hier mit l'Hospital mit Kanonen auf Spatzen geschossen. Wie ich oben schon sagte , kannst du aus Zähler und Nenner per Polynomdivision den Faktor (x+2) abspalten uns rauskürzen. Danach kannst du den Grenzwert bilden. Dieses Verfahren sollte eigentlich bekannt sein. |
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| 30.06.2011, 12:45 | Anna10 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Eigentlich wollte ich nur wissen, ob das dann richtig ist das die Funktion stetig ist... Polynomdivision ist mir bekannt, nur haben wir das noch nie mit dem Grenzwert in Vebrindung angewendet und um ehrlich zu sein, für 5 Punkte von 90 ( so stehts in der Klausur) reicht mir dann die Antwort ob es stetig ist oder nicht... für Polynomdivision und irgendwas rauszuziehen habe ich da keine Zeit |
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| 30.06.2011, 12:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Daß es so ist, sagte ich.
Eine Tragik des deutschen Schulwesens. Und Polynomdivision kostet kaum mehr Zeit als die Ableitungen zu bilden. |
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