Integralrechnung

28.06.2011, 23:00

Julia05

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Integralrechnung

Meine Frage:
Berechnen Sie folgende Integrale:

1) $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! 2x*e^x \, dx \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} \int_1^2 \!\frac{ln(x²)²-1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$

3) Bestimmen Sie alle a für die gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_1^2 \!\frac{a}{x} * e^{a*ln(x)} \, dx =3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1) [x²*e^x] in den Grenzen 0 und 1 = 2,7183

2) [ln(x)*ln(x)-1x] in den Grenzen 1 und 2 = -0,667

Stimmt dies soweit?

Bei 3) komme ich nicht weiter muss ich das partiell ableiten nach a oder wie?

Über Anregungen würde ich mich freuen =)

28.06.2011, 23:42

Dopap

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RE: Integralrechnung
bei 1.) und 2.) stimmen die Stammfunktionen nicht.
Schon mal zum Test abgeleitet?
3.) partielle Integration bekannt?

oder sich überlegen, was die Ableitung von exp(a*ln(x)) ergeben würde. ( sogenannte scharfer Blick Methode )

28.06.2011, 23:52

Julia05

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Ja die partielle Integration ist mir bekannt, dass werde ich gleich ausprobieren!!

Du hast Recht, wenn ich die Funktionen ableite kommt nicht die gewünschte Funktion hieraus...

also bei a) würde ich mit der Produktregel ableiten und nicht auf die Funktion kommen

Hast du einen Tipp??

Liebe Grüße

29.06.2011, 00:01

Mulder

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RE: Integralrechnung
Partielle Integration oder sowas scheint bei mir 3 etwas hochgeschossen. Wie wäre es mit damit?

$\begin{eqnarray*} \int \frac{a}{x}\cdot e^{a \ln(x)} \, \dx = \int \frac{a}{x}\cdot e^{ \ln(x^a)} \, \dx = \int a x^{a-1} \, \dx = \, ... \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Ich nehme an, du meintest das mit "scharf hingucken", Dopap, aber naja. Wenn man sowas zum ersten mal macht...

Formal könnte man auch einfach den Exponenten substituieren.

29.06.2011, 00:16

Dopap

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1.) versuch mal partielle Integration
u(x)=2x
v'(x)=exp(x)

$\begin{eqnarray*} \int u(x)\cdot v'(x) \dd x =\ \end{eqnarray*}$

29.06.2011, 18:11

Julia05

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Also die Stammfunktion zu 1)

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! 2x*e^{x} \, dx \end{eqnarray*}$
müsste ich nun haben:

$\begin{eqnarray*} F(x) = (2x-2)*e^{x} \end{eqnarray*}$

mit den Grenzen unten = 0 oben = 1
komme ich auf einen Grenzwert von 2!

Ist dies soweit richtig?! Dann rechne ich die 2. Stammfunktion weiter

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29.06.2011, 18:39

Mulder

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Ist okay.

29.06.2011, 18:48

Julia05

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Cool, danke ;-)

Dann löse ich nochmal die 2. Funktion

Da muss ich doch sicher substituieren oder?

Liebste Grüße smile

smile

29.06.2011, 19:18

Mulder

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Zitat:

Original von Julia05
Da muss ich doch sicher substituieren oder?

Stützt du diese Annahme auf irgendetwas? Oder ist das jetzt nur ins Blaue geraten? Ich würde das Integral erstmal auseinander ziehen (also den Bruch, das kann man ja machen). Und dann ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} \ln(x^2) = 2 \ln(x) \quad \text{für } x >0 \end{eqnarray*}$

Und ja, dann kann man "was substituieren". Die Umformung, die ich dir da gezeigt habe, braucht man gar nicht mal zwingend, aber ich denke, man sieht es dann leichter.

29.06.2011, 21:17

Julia05

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Das mit der Substitution hab ich nur im Skript gefunden bei einer ähnlichen Funktion, daher dachte ich könne man es anwenden... jedoch leichter gesagt als getan Hammer

Hammer

Jetzt nehme ich erstmal die Funktion auseinander
Also die Stammfunktion von ln(x)² ist = x*ln(x)²-2x*ln(x)+2x
Die Stammfunktion von 1/x (wegen dem Bruch) ist ln(x)
Die Stammfunktion von -1 ist -1x

Wenn ich alles aneinanderkette ( falls man das darf) ist die Stammfunktion:

ln(x)*x*ln(x)²-2x*ln(x)+1x

Ich hoffe irgendwas davon ist richtig Gott

Gott

29.06.2011, 21:25

Mulder

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Nein, GANZ übel daneben gegriffen. Wie bist du denn dahin gekommen? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^2 \frac{(\ln(x^2))^2-1}{x} \, \dx = \int\limits_1^2 \frac{(2 \ln(x))^2}{x} \, \dx - \int\limits_1^2 \frac{1}{x} \, \dx = 4 \int\limits_1^2 \frac{(\ln(x))^2}{x} \, \dx - \int\limits_1^2 \frac{1}{x} \, \dx \end{eqnarray*}$

So sieht das doch schon viel schöner aus. Und bei dem Integral mit dem ln arbeite mit der Substitution

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=t \end{eqnarray*}$

Das zweite Integral ist klar (hoffe ich).

29.06.2011, 21:31

Julia05

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Ich sehe gerade - LOL Hammer

LOL Hammer

- mir ist ein Fehler in der Aufgabenstellung unterlaufen... ich habe die Funktion falsch in dem Formeleditor geschrieben... kenn mich mit diesen ganzen Klammern usw noch nicht so aus bei latex

Die richtige Funktion bei 2) lautet $\begin{eqnarray*} \frac{(ln(x))²-1}{x} \end{eqnarray*}$

Ist meine Ableitung nach (ln(x))² dann richtig?

29.06.2011, 21:40

Mulder

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Zitat:

Original von Julia05
Ist meine Ableitung nach (ln(x))² dann richtig?

Es geht doch um (ln(x))²/x. Und das ist was völlig anderes. Du kannst bei einem Produkt nicht einfach jedem Faktor einzeln integrieren. Das klappt schon beim Ableiten nicht (sonst gäbe es keine Produktregel), warum sollte das also beim Integrieren gehen?

Was also soll das bringen? Verfolge doch einfach mal meinen Ansatz, anstatt ihn völlig zu ignorieren.

29.06.2011, 22:07

Julia05

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Ich ignoriere ihn nicht, jedoch finde ich diese aufgabe nicht leicht... nach drei stunden übersieht man auch mal sachen

29.06.2011, 22:11

Mulder

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Wenn die Batterien leer sind, mach halt morgen weiter (das geht mir auch manchmal so, dann sieht man halt nichts mehr).

Und ansonsten müsstest du schon etwas konkreter werden. Weißt du, wie das mit dem Substituieren bei Integralen funktioniert? Ich habe dir schon gesagt, was du substituieren musst, und das ist eigentlich der schwerste Teil bei diesem Verfahren... die richtige Substitution finden. Ab jetzt wäre es nur noch stures rechnen.

Sonst musst du schon genauer sagen, was unklar ist.

29.06.2011, 22:15

Julia05

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Ich bin dir wirklich sehr Dankbar für deine Hilfe smile

smile

Nein, ich rechne das jetzt solange weiter, bis ich es habe Big Laugh

Big Laugh

wenn ich nicht auf die Lösung komme, muss ich solange rechnen bis ich sie habe... das macht mich sonst irre böse

böse

Ich poste dann später meine eventuell mal richtige Funktion Big Laugh

Big Laugh

29.06.2011, 22:36

Julia05

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Also die Stammfunktion von 1/x ist ja ln(x) also ist der zweite Teil klar

Beim 1. Teil komme ich immer noch nicht weiter, wenn ich ln(x) =t substituiere erhalte ich für t dann irgendwann 1/x dx oder 1x dx ( hab zwei Versionen)

30.06.2011, 12:59

Julia05

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Ah ich habe es jetzt raus, habe auch vorhin nochmal nachgefragt in der schule und es war richtig...

danke für deine hilfe mit dem ln(x²) = 2*ln(x) und deinen anderen Überlegungen smile

smile

) ich hatte es fast richtig

Liebste Grüße

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