Monoide, neutrales Element

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29.06.2011, 11:09	Type	Auf diesen Beitrag antworten »
Monoide, neutrales Element Meine Frage: Hallo Leute, ich habe hier eine Aufgabe, die mir ein Problem bereitet: Ich soll untersuchen, ob folgende Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ein Monoid ist: Eine Menge $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|S\| \geq 2 \end{eqnarray}$ und zwei fest gewählten Elementen $\begin{eqnarray} s_1, s_2 \in S, s_1 \neq s_2: M = \left\{ f: S \rightarrow S \| f(s_1) = s_2, f(s_2) = s_1\right\} \end{eqnarray}$ und der zweistelligen Operation: $\begin{eqnarray} (f \otimes g)(x) = f(g(x)), \forall x \in S \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Herausgefunden habe ich, dass M abgeschlossen und (durch die Hintereinanderausführung von Funktionen) assoziativ ist. Mein Problem ist nun, ein neutrales Element zu finden. Zwar ist die Operation an sich scheinbar neutral (wenn ich $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ "reinstecke", kommt $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ wieder raus), aber weder $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ sind neutral... Demzufolge ist das kein Monoid, oder? Danke für eure Hilfe. MfG Type
29.06.2011, 11:39	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis für abgeschlossen würde mich einmal interessieren
29.06.2011, 12:50	Type	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Abgeschlossenheit habe ich eine Tabelle erstellt: S \| f(.) \| g(.) \| (f°g)(.) s1 \| s2 \| s2 \| s1 s2 \| s1 \| s1 \| s2 und daraus gefolgert, dass das System abgeschlossen ist. (Ich bin mir nicht sicher, ob das so OK ist...)
29.06.2011, 12:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha und weil f(g(s1)) = s1 ist folgerst du dass es in der Menge liegt? Es soll doch nach Definition der Menge s2 ergeben... Und so eine Tabelle macht keine Sinn, da weder S, noch f oder g oder sonst was genau bestimmt sind.
29.06.2011, 13:02	Type	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso soll es nach der Definition $\begin{eqnarray} s_2 \end{eqnarray}$ ergeben? Bei der Menge M heißt es sinngemäß doch nur, dass es sich um eine Menge von Abbildungen handelt, bei denen ich $\begin{eqnarray} s_1 \end{eqnarray}$ reinstecke und $\begin{eqnarray} s_2 \end{eqnarray}$ herausbekomme (und andersherum). Dann habe ich zwei Abbildungen (f,g), mit genau diesen Eigenschaften, die ich als Operanden für die Verkettung nehme. Mal davon abgesehen, weiß ich immernoch nicht, wie ich das mit dem neutralen Element mache.
29.06.2011, 13:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber die Verkettung muss auch in der Menge liegen, also auch diesselbe Eigenschaft haben. Das heißt doch gerade abgeschlossen. Das gilt hier nicht. Von einem neutralen Element zu sprechen ist dann unnötig wenn die Verknüpfung schon keinen Sinn macht.
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29.06.2011, 13:27	Type	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss die Operation, dieselben Eigenschaften haben, wie die Funktionen in M? Dann könnte man das doch so schreiben: Seien $\begin{eqnarray} s_1 \in S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f, g \in M \Rightarrow (f \otimes g)(s_1) = s_1 \Rightarrow (f \otimes g) \notin M \Rightarrow \end{eqnarray}$ M ist kein Monoid
29.06.2011, 16:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein die Operation hat dieselben Eigenschaften, sondern das was dann mit der Operation rauskommt. Ja so kann man das schreiben
29.06.2011, 16:55	Type	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, alles klar. Danke für deine schnelle Hilfe!

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