Resonanzfall bei Differenzengleichungen

29.06.2011, 16:04

breakthrough

Resonanzfall bei Differenzengleichungen

Hallo,
Habe ein kleines Verständnisproblem:
und zwar z.b. bei der differenzengleichung:
$\begin{eqnarray*} x_{n+2} - 6x_{n+1} + 9x_n = 8 \end{eqnarray*}$

lösung der homogenen gleichung habe ich.
die lautet:
$\begin{eqnarray*} x_n = (C_1 + C_2 n) \cdot 3^n \end{eqnarray*}$

okay nun gehts zur Partikulären Lsg:
Da das Störglied konstant ( = 8 ) ist wähle ich den Ansatz $\begin{eqnarray*} x_n = A_0 \end{eqnarray*}$
nun heißt es aber das dies ein Resonanzfall ist. Warum?

lg

29.06.2011, 16:14

René Gruber

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Zitat:

Original von breakthrough
nun heißt es aber das dies ein Resonanzfall ist.

Ist er nicht. unglücklich

Bei einer rechten Seite $\begin{eqnarray*} 8\cdot 3^n \end{eqnarray*}$ wäre das der Fall, aber nicht bei der bloßen $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ . Nimm also ruhig Ansatz $\begin{eqnarray*} x_n = A_0 \end{eqnarray*}$ , es klappt. Freude

29.06.2011, 16:20

breakthrough

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danke, für die antwort.
d.H. woran erkenne ich es genau wenn ein Resonanzfall vorliegt?
bsp.:
wenn die störtfunktion 3^n wäre und in der homogenen lösung irgendwo(?) auch das 3^n vorkommt? dann muss ich den ansatz Ar^n mal mit n multiplizieren?

29.06.2011, 17:54

René Gruber

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Zitat:

Original von breakthrough
wenn die störtfunktion 3^n wäre und in der homogenen lösung irgendwo(?) auch das 3^n vorkommt? dann muss ich den ansatz Ar^n mal mit n multiplizieren?

So kann man es vereinfacht sagen, ja.

Wenn allerdings nicht nur $\begin{eqnarray*} 3^n \end{eqnarray*}$ , sondern sogar $\begin{eqnarray*} n3^n \end{eqnarray*}$ in der homogenen Lösung vorkommt (so wie oben!!!), dann muss man den Grad sogar nochmals erhöhen, d.h. Ansatz $\begin{eqnarray*} An^23^n \end{eqnarray*}$ usw. - ich denke, jetzt ist dir klar wie das läuft.

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