Eine Gruppe erzeugen

29.06.2011, 19:41

steviehawk

Eine Gruppe erzeugen

Meine Frage:
Hallo Leute,

Sei G eine Gruppe und M eine Menge mit einer Operation ( * ). Es gebe nun eine injektive Abbildung :

$\begin{eqnarray*} f: M \to G; f(m*n) = f(m) * f(n) \end{eqnarray*}$ , für alle m, n aus M.

Zeigen Sie: Gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \bar m \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f( \bar m) = f(m)^{-1} \end{eqnarray*}$ und existiert ein $\begin{eqnarray*} e \in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(e) = 1_G \end{eqnarray*}$ , dann ist M bezüglich ( * ) eine Gruppe.

Meine Ideen:
Okay also, dass M zu einer Gruppe wird muss ich zeigen:

1) M ist abgeschlossen bezüglich ( * )

2) Es gibt ein neutrales Element (e*m=m) für alle m aus M

3) Es gibt in M eine Inverses (m*m'=e) für alle m aus M

zu 1)So also zur Abgeschlossenheit:
mit m,n aus M, muss auch (mn) in M liegen:

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} f(m*n) = f(m)f(n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(m), f(n) \in G \end{eqnarray*}$ ,

da G eine Gruppe ist, ist G bereits abgeschlossen, also ist $\begin{eqnarray*} f(m)f(n) = g \in G \end{eqnarray*}$ .

Da f eine injektive Abbildung ist, gilt $\begin{eqnarray*} f(m_1) = f(m_2) \Rightarrow m_1 = m_2 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} f(m*n) = f(m)f(n) := g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x) = g \end{eqnarray*}$ dann folgt: $\begin{eqnarray*} m*n = x \in M \end{eqnarray*}$

Ist also $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ so wird es genau von einem x aus M "getroffen". Da es ja getroffen wird, muss es dieses x auch geben. Das x ist wiederum genau: $\begin{eqnarray*} x = m*n \end{eqnarray*}$ Also ist M bezüglich ( * ) Abgeschlossen.

zu 2) Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(e) = 1_G \end{eqnarray*}$ da nun aber f injektiv ist, wird das neutrale Element aus G ( $\begin{eqnarray*} 1_G \end{eqnarray*}$ ) nur vom neutralen Element aus M "getroffen". Dann muss wiederum e das neutrale Element in M sein.

zu 3) Hier weiß ich nicht ganz wie ich argumentieren soll, wie kann ich denn allgemein zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x^{-1}) = f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Und stimmt der Rest soweit???

Danke

30.06.2011, 12:14

Reksilat

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Hallo stevie,

Zu 1):
Deine Argumentation verstehe ich nicht. Wo kommt denn plötzlich Dein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ her? Von Surjektivität der Abbildung ist doch nirgendwo die Rede.

Ich denke, dass die Abgeschlossenheit sowieso trivialerweise schon erfüllt ist. Was soll denn "M [ist] eine Menge mit einer Operation ( * )" sonst bedeuten?

Wenn $\begin{eqnarray*} m*n \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegt oder nicht definiert ist, dann ergibt doch auch die Gleichung $\begin{eqnarray*} f(m*n) = f(m) * f(n) \end{eqnarray*}$ keinen Sinn und kann nicht verwendet werden. Dann kann man die Aufgabe aber auch vergessen.

Zu 2):

Zitat:

da nun aber f injektiv ist, wird das neutrale Element aus G ( $\begin{eqnarray*} 1_G \end{eqnarray*}$ ) nur vom neutralen Element aus M "getroffen".

Es ist doch erst zu zeigen, dass es in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ überhaupt ein neutrales Element gibt. verwirrt

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ die Bedingungen für das neutrale Element erfüllt.

Zu 3):
Nimm ein $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ und zeige, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n*m=e \end{eqnarray*}$ gibt.
Es steht ja quasi schon in den Voraussetzungen, wie man das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wählen sollte.

Gruß,
Reksilat.

30.06.2011, 21:41

steviehawk

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Zu 1) okay also du bist der Meinung, dass man die Abgeschlossenheit nicht zeigen muss, da trivial.

Zu 2) Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(e)f(m) = f(e*m) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(e) = 1_G \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} f(e)f(m) = 1_G f(m) = f(m) = f(e*m) \Rightarrow m = e*m \end{eqnarray*}$ dann ist e das neutrale Element.

Zu3) Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(m*n) = f(m)f(n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n = \bar m \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} f(m*\bar m) = f(m)f( \bar m) = f(m)f(m)^{-1} = 1_G = f(e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow e = m* \bar m \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} \bar m = m^{-1} \end{eqnarray*}$

Hoffe dieses mal ist es besser Wink

stevie

30.06.2011, 23:10

Reksilat

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Jop. Das sieht besser aus.
Wichtig ist halt jedes mal die Injektivität von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

30.06.2011, 23:24

Pavel

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Müsste nicht auch noch die Assoziativität der Verknüpfung auf M gezeigt werden?
Ohne diese wäre (M,*) ja nicht einmal eine Halbgruppe.

Pavel

30.06.2011, 23:28

Reksilat

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RE: Eine Gruppe erzeugen
Stimmt, das fehlt auch noch.
Danke.

01.07.2011, 00:38

steviehawk

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RE: Eine Gruppe erzeugen
Assoziativität heißt ja:

m*(n*k) = (m*n)*k wie kann ich denn das zeigen???

so?

$\begin{eqnarray*} f(m*(n*k)) = f(m)f(n*k) = f(m)f(n)f(k) = f(m*n)f(k) = f((m*n)*k) \end{eqnarray*}$

also ist: $\begin{eqnarray*} m*(n*k) = (m*n)*k \end{eqnarray*}$ und dann ist M bezüglich * assoziativ

passt das?

Danke für die Hilfe

01.07.2011, 11:34

Reksilat

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RE: Eine Gruppe erzeugen
Ja, das passt.

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