Def. diff.'bare Mannigfaltigkeit |
| 29.06.2011, 19:41 | Kev11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Def. diff.'bare Mannigfaltigkeit Hi, Sei X eine Mannigfaltigkeit. Def.1: Ein Atlas heißt differenzierbar, wenn die Kartenwechselabbildungen für alle i,j differenzierbar sind. Kann ich diese Definition durch folgende ersetzen? (Damit meine ich: Sind es bei beiden Definitionen die selben Mannigfaltigkeiten, die differenzierbar sind?) Def.2: Ein Atlas heißt differenzierbar, wenn es eine diffeomorphe Abbildung für alle i,j gibt. Meine Ideen: Ich denke das geht, denn: "=>": Sei X eine Mannigfaltigkeit, zu der es einen nach Def.1 differenzierbaren Atlas gibt. Dann kann man einen Atlas für X wählen, dass für alle i. Dieser Atlas ist dann offensichtlich nach Def.2 differenzierbar. "<=": Kann man sich analog leicht überlegen. Stimmt das so? Mit freundlichen Grüßen Kev |
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| 29.06.2011, 20:39 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi
Wie ich diese Sätze liebe! 
Auf alle Fälle stimmen die beiden Definitionen nicht überein. (Mehr noch ist die zweite Definition im Prinzip inhaltslos.) Ein Gegenbeispiel ist gegeben durch die beiden Karten für . Obiges erfüllt offenbar Def. 2, allerdings nicht Def. 1. Es ist bei der Definition entscheidend, dass man beim Kartenwechsel über die Mannigfaltigkeit geht. 
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| 29.06.2011, 21:07 | Kev11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, ja, die Rückrichtung kann man doch nicht beweisen, denn sie gilt nicht. Das hast du mit deinem Gegenbeispiel ja gezeigt. "Es ist bei der Definition entscheidend, dass man beim Kartenwechsel über die Mannigfaltigkeit geht." Kannst du mir "anschaulich" verständlich machen, warum das entscheidend ist? Mit freundlichen Grüßen Kev |
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| 30.06.2011, 00:05 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Idee bei einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist, dass
Und man überlegt sich halt, dass deine Def. 2 im Prinzip nur sagt: "Die Wertemengen von Karten sollen diffeomorph sein." Das hat mit der Mannigfaltigkeit ja gar nichts zu tun, drückt also bestimmt nicht b) aus. |
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| 30.06.2011, 13:56 | Kev11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, danke. Das habe ich jetzt verstanden. Noch eine Frage: kann nicht für alle i,j gelten, da alle offene Mengen sind. Korrekt? Mit freundlichen Grüßen Kev |
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| 30.06.2011, 15:00 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, dass stimmt nicht. Triviales Beispiel wäre eine Mannigfaltigkeit , die sich durch eine karte beschreiben lässt. |
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| 30.06.2011, 15:37 | Kev11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, ich glaube du hast mich falsch verstanden. Ich meinte: Ein Atlas für eine Mannigfaltigkeit kann nicht nur aus Karten bestehen, deren Kartengebiete paarweise disjunkt sind. In deinem Beispiel gibt es nur ein Kartengebiet, der Begriff disjunkt macht dann ja überhaupt keinen Sinn. Nebenfrage: So eine Mannigfaltigkeit, die sich durch eine Karte beschreiben lässt, kann nicht kompakt sein, stimmts? Mit freundlichen Grüßen Kev |
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| 01.07.2011, 09:34 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, dass habe ich nicht. Ein einelementiges Mengensystem besteht nunmal aus paarweise disjunkten Mengen. Aber ich kann dir auch ein anderes Beispiel geben. Nimm z.b. zwei disjunkte offene Kreise in der Ebene ...
Nein, dass stimmt nicht warum glaubst du das? |
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| 01.07.2011, 13:34 | Kev11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, ich verstehe aber nicht, wie zwei disjunkte offene Kreise eine Mannigfaltigkeiten überdecken können; es also einen Atlas für eine Mannigfaltigkeit geben kann, der nur aus den zwei Karten besteht, deren Kartengebiete die zwei disjunkten Kreise sind. Ich kann mir keine solche Mannigfaltigkeit vorstellen. Zur Nebenfrage: Sei M eine kompakte Mannigfaltigkeit, die sich durch eine Karte beschreiben lässt. Dann gibt es einen Homöomorphismus von einer offenen Teilmenge T des IR^n auf M. Also ist M homöomorph zu T. Da M kompakt, ist auch T kompakt. T ist somit offen und abgeschlossen. Insbesondere gilt dann T=iR^n oder T={}. Beides ist nicht möglich, Widerspruch. Mit freundlichen Grüßen Kev |
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| 02.07.2011, 09:55 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die zwei Kreise sind die Mannigfaltigkeit 
Was die Kompakheit angeht, hast du Recht, ich hatte da einen Denkfehler. lg |
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| 02.07.2011, 14:24 | Kev11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, achso ;-). Aber folgendes sollte stimmen: Für eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit M existiert genau dann ein Atlas, der nur aus Karten besteht, deren Kartengebiete disjunkt sind, wenn M nicht kompakt ist. Ich nenne einen Atlas, der nur aus Karten besteht, deren Kartengebiete disjunkt sind ab sofort "disjunkter Atlas". Man kann also sagen, für eine Mannigfaltigkeit existiert genau dann ein disjunkter Atlas, wenn sie nicht zusammenhängend oder nicht kompakt ist. Ein einfaches "oder" reicht, ich brauche kein "entweder oder", oder? ;-) Mit freundlichen Grüßen Kev |
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| 02.07.2011, 15:58 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So ein Atlas (sollte er mehr als eine Karte umfassen) existiert nicht einmal dann, wenn die Mannigfaltigkeit nicht kompakt ist. Du kannst eine zshgd. Menge nämlich (per Definition) nie als Vereinigung offener disjunkter Mengen darstellen. Aus zshgd. folgt also die "Nichtexistenz" eines solchen Atlas. Umgekehrt muss aber aus nicht zshgd. keineswegs die Existenz eines solchen Atlas folgen, da du ja auf den Zusammenhangskomponenten keine entsprechenden Kartenmengen finden musst. Man kann aber, wenn ich mich nicht irre, folgende Aussage treffen : Einen Atlas, dessen Karten paarweise disjunkte Definitionsbereiche haben, gibt es genau dann, wenn jede Zusammenhangskomponente der Mannigfaltigkeit durch nur eine Karte beschrieben werden kann. |
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| 02.07.2011, 16:38 | Kev11 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, ja, letztere Aussage sollte wahr sein. Danke für die Antworten :-) Mit freundlichen Grüßen Kev |
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