Werte komplexer Zahlen

29.06.2011, 22:11

JuPee

Werte komplexer Zahlen

Meine Aufgabe:
Man bestimme alle möglichen Werte von $\begin{eqnarray*} log(i) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 4^{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (-1)^{\sqrt{i} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 1^{i+\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$ .

Meine Idee:
Irgendwie habe ich ja keine Ahnung, was ich da genau machen muss!

Bei $\begin{eqnarray*} 4^{2} \end{eqnarray*}$ müsste das Ergebnis doch eindeutig sein, nämlich $\begin{eqnarray*} 16 \end{eqnarray*}$ .

Und bei $\begin{eqnarray*} 1^{i+\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$ müsste das Ergebnis doch auch eindeutig sein, oder? Weil $\begin{eqnarray*} 1^{x} \end{eqnarray*}$ ist ja immer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnte!!

30.06.2011, 01:02

frank09

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Nach der Eulerschen Formel gilt ja:
$\begin{eqnarray*} e^{i\varphi} = cos(\varphi) + i\,\sin( \varphi) \end{eqnarray*}$
ebenso
$\begin{eqnarray*} 1^{i+\sqrt{3} }=e^{ln1(i+\sqrt{3})} \end{eqnarray*}$

außerdem
$\begin{eqnarray*} e^{i\pi}=-1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} e^{i0.25\pi}=\sqrt{i} \end{eqnarray*}$

Damit solltest du erstmal die letzten beiden Ausdrücke berechnen können.

01.07.2011, 12:27

JuPee

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Nein, so richtig habe ich es immer noch nicht verstanden ...

Zitat:

Nach der Eulerschen Formel gilt ja:
$\begin{eqnarray*} e^{i \varphi } = cos(\varphi)+ i sin(\varphi) \end{eqnarray*}$
ebenso
$\begin{eqnarray*} 1^{i+\sqrt{3}} = e^{ln1(i+\sqrt{3}) } \end{eqnarray*}$

Wenn das der Fall sein sollte (habe die Formeln noch nicht in meinen Vorlesungsnotizen gefunden -.-), dann müsste doch trotzdem $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ rauskommen. Weil im Exponent steht ja $\begin{eqnarray*} ln(1) \end{eqnarray*}$ das wäre $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} e^{0} = 1 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

außerdem $\begin{eqnarray*} e^{i\pi } = -1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} e^{i0,25\pi } = \sqrt{i} \end{eqnarray*}$

Dann wäre das eingesetzt $\begin{eqnarray*} (-1)^{\sqrt{i} } = e^{i\pi e^{i\frac{\pi }{4} } } \end{eqnarray*}$ . Aber dann hört es auch schon wieder auf ...

03.07.2011, 00:14

kuno

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Bin mir nicht sicher, aber geht die dritte Aufgabe vielleicht so?

$\begin{eqnarray*} (-1)^{\sqrt{i} } = e^{i\pi e^{i\frac{1 }{4}\pi } } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{i\pi i\frac{1}{4}\pi } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{i^{2}\pi ^{2}\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{-1\pi ^{2}\frac{1}{4} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{1}{4}\pi ^{2} } \end{eqnarray*}$

03.07.2011, 02:07

frank09

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Nein, du hast das e im Exponenten einfach weggelassen und als Ergebnis eine reelle Zahl herausbekommen, was es nicht ist.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{i}=e^{i0,25\pi } = cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}=\sqrt{0.5}+i \sqrt{0.5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-1)^{\sqrt{i} } = e^{i\pi (\sqrt{0.5}+i \sqrt{0.5}) } =e^{i\pi \sqrt{0.5}-\pi \sqrt{0.5} }=e^{-\pi \sqrt{0.5}}e^{i\pi \sqrt{0.5}} \end{eqnarray*}$

Also in Polarkoordinaten:

$\begin{eqnarray*} (-1)^{\sqrt{i} }=0,108e^{i2,22} \end{eqnarray*}$

03.07.2011, 13:51

kuno

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Ah ok, das habe ich jetzt verstanden smile

03.07.2011, 22:33

frank09

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Ja.

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