Definitionsbereich von einfacher Funktionenschar bestimmen

30.06.2011, 00:29

Sela

Definitionsbereich von einfacher Funktionenschar bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich von
fa(x)=ln(x²+ax+1) mit a>-2

Ich habe die Funktion mal mit Geogebra dargestellt und gesehen, dass die Funktion erst ab a<=-2 nicht definiert ist, im Prinzip ist also D=R unter diesen Bedingungen.

Rechnerisch finde ich keine so leichte Lösung.

Im Prinzip gilt doch aufgrund des Ln eine Darstellung wie diese:

D=R \ {x $\begin{eqnarray*} \leq \frac{-a}{2} \pm \sqrt[2]{\frac{a²}{4}-1} \end{eqnarray*}$ }

(also im Prinzip die Fälle in denen der Inhalt der Klammer kleiner gleich 0 ist, hier dargestellt durch PQ Formel)

Die Lösung lässt sich, soviel weiß ich doch schließlich durch die Zeichnung, aber doch viel konkreter bestimmen, ist meine Überlegung also falsch bzw. noch nicht zuende gedacht?

Liebe Grüße

30.06.2011, 01:02

tigerbine

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RE: Definitionsbereich von einfacher Funktionenschar bestimmen
Es lebe die Lesbarkeit.

$\begin{eqnarray*} f_a(x)=\ln(x^2+ax+1),~a>-2 \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, wo die ln-Funktion definiert ist. Dies führt auf die Forderung

$\begin{eqnarray*} x^2+ax+1>0 \end{eqnarray*}$

Und die Lösung dieser Ungleichung erfordert Wissen über Parabeln. Und man kann wie gewohnt Lösungsformeln für Nullstellen ansetzten und muss das Ergebnis dann (Welcher Parabelöffnungstyp liegt vor) richtig interpretieren.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2} \end{eqnarray*}$

liefert die Nullstellen der Parabel. Was bedeutet es, wenn es keine Nullstellen gibt? Z.B. a=-1?

Ansonsten wähle ich mal a=3.

Somit sollte klar sein, was ich mit obigen Anspielungen meinte.

30.06.2011, 12:36

Sela

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Ich hatte schon ganz viel geschrieben, bestimmt eine halbe Stunde lang, darüber warum ich deine Ausführungen nicht verstehe bis es mir dann gerade plötzlich eingeleuchtet ist :-)

Also solange die Parabel x²+ax+1 keine X-Achsen NS hat, ist die Funktion fa auch durchgehend definiert. Sobald sie mindestens eine NS hat, ist die Funktion fa im Scheitelpunkt nicht mehr definiert, weil dieser dann natürlich bei y <= 0 liegt.

Nullstellen hat die Parabel nur wenn a²>= 4 ist also a>= +-2

Also gilt D=R\{a>=2} (a<=-2 ist ja durch die Aufgabenstellung ausgeschlossen)

Ist das immer so, dass man sich hinterher fragt warum man nicht selbst darauf gekommen ist? :P

30.06.2011, 14:33

tigerbine

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So, nun müssen man die Defintionsmenge nur noch besser aufschreiben. Fallunterscheidung.

a>2: D=IR

a=2: D=IR\{2}

sonst: D=IR\{[Intervall zwischen den Nullstellen]}

Den letzen Text kannst du nun wieder mit Inhalt füllen.

Zitat:

Ist das immer so, dass man sich hinterher fragt warum man nicht selbst darauf gekommen ist? :P

Ja, meist. Aber das ist doch auch mit Rätseln so. Und Spass macht nur das selber lösen.

30.06.2011, 15:32

Sela

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Zitat:

a>2: D=IR

a=2: D=IR\{2}

sonst: D=IR\{[Intervall zwischen den Nullstellen]}

Das verstehe ich nun nicht. Ich hätte gedacht:

Wenn a=2 dann ist D=R\{-1} ? Denn dort ist doch dann der Scheitelpunkt bzw die NS von x²+ax+1

und für a>2 wäre es doch dann der D=R \ Intervall zwischen den Nullstellen von x²+ax+1

und in allen anderen Fällen wäre D=R oder nicht?

30.06.2011, 17:18

tigerbine

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Sorry.

Ich wollte auf die Fallunterscheidung bzgl. a aufmerksam machen und war danach was hektisch, weil ich weg musste.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2} \end{eqnarray*}$ (*)

Eine Lösung für a=-2, a=2. Scheitelpunkt bei x=-0.5a. Wegen a>-2 haben wir nur einen Fall a=2 und x=-1. D=IR\{-1}

Keine Lösung, damit keine Nullstellen für $\begin{eqnarray*} a \in ]-2,2[ \end{eqnarray*}$ . Beispiel a=0. D=IR.

Und für a>2 bekommen wir 2 verschiedene Nullstellen.

Und müssen den Bereich zwischen den Nullstellen ausschließen.

$\begin{eqnarray*} D=\mathbb R \setminus [x_1,x_2] \end{eqnarray*}$

mit (*), also $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4}}{2} \end{eqnarray*}$

Wink

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