messbare Funktion und Produktalgebra

30.06.2011, 00:43

Merlinius

messbare Funktion und Produktalgebra

Hi, ich lerne gerade für meine Wahrscheinlichkeitstheorie Klausur und bin bei folgender Aufgabe:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal A, \mu) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -endlicher Maßraum, $\begin{eqnarray*} f: \Omega \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine nicht-negative Funktion und $\begin{eqnarray*} M := \{(\omega, t) \in \Omega \times \mathbb R | 0 \leq t \leq f(\omega)\} \end{eqnarray*}$ .

z.z.: Wenn f messbar ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} M \in \mathcal A \otimes \mathcal B \end{eqnarray*}$

Leider finde ich hier keinen vernünftigen Ansatz. Also die Menge M ist ja die Fläche, die der Graph mit der ersten Achse einschließt, wenn man sich $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mal als $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ veranschaulicht.

Unten drunter stand noch ein Hinweis:

Zitat:

Betrachten Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} h: \Omega \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R, (\omega, t) \mapsto f(\omega) - t \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht, ob der Hinweis zu dieser oder erst zur nächsten Teilaufgabe gehört.

Also $\begin{eqnarray*} \mathcal A \otimes \mathcal B \end{eqnarray*}$ haben wir definiert als kleinste $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra, so dass alle Projektionen messbar sind. Das ist aber erstmal eine abstrakte Definition, die mir nichts darüber sagt, wie diese in der Aufgabe aussieht. Allzu viel fällt mir leider nicht ein bisher.

Über Tipps würde ich mich freuen smile

30.06.2011, 02:15

gonnabphd

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Hi,

Definiere $\begin{eqnarray*} s: \mathbb R\times \mathbb R \to \mathbb R, \; s(x,y) := x - y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Phi: \Omega\times \mathbb R\to \mathbb R \times \mathbb R, \; (\omega, t) \mapsto (f(\omega), t) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ stetig, $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ messbar (ggf. zeigen) und $\begin{eqnarray*} h =s \circ \Phi \end{eqnarray*}$ .

Was lässt sich nun über h aussagen? Wie kannst du M mithilfe von h beschreiben?

30.06.2011, 02:17

Merlinius

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Okay, neue Erkenntnisse:

Anscheinend bezieht sich der Tipp doch auf diese Aufgabe. Also:

$\begin{eqnarray*} M \text{ messbar} \Leftrightarrow \{(\omega, t) | 0 \leq f(\omega)-t\} \cap \Omega \times \mathbb R_{\geq 0} \text{ messbar} \end{eqnarray*}$

Die rechte Menge ist auf jeden Fall messbar, also genügt es zu zeigen, dass die linke messbar ist. Nach einem Satz aus der Vorlesung ist dies äquivalent dazu, dass die Abbildung

$\begin{eqnarray*} h: \Omega \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R, (\omega, t) \mapsto f(\omega) - t \end{eqnarray*}$

messbar ist. In der Vorlesung haben wir zwar gesagt, dass aus $\begin{eqnarray*} (a, b) \mapsto f(a, b) \end{eqnarray*}$ messbar folgt, dass auch $\begin{eqnarray*} a \mapsto f(a, b) \end{eqnarray*}$ messbar ist, die Umkehrung hatten wir allerdings nicht ( $\begin{eqnarray*} a \mapsto f(a, b'), b \mapsto f(a', b) \text{ messbar } \forall a', b' \Rightarrow (a, b) \mapsto f(a, b) \end{eqnarray*}$ messbar). Gilt diese? Wenn nein, wie kann ich die Messbarkeit der Abbildung zeigen?

30.06.2011, 02:23

Merlinius

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Danke, das geht ja in dieselbe Richtung wie ich mir gerade überlegt hatte.

Also ich weiß, dass stetige Abbildungen messbar sind und die Komposition zweier messbarer Abbildungen ebenfalls. Damit wäre der Beweis nun fertig, wenn ich zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ messbar ist.

Da ist mir aber nicht ganz klar, wie ich das bewerkstelligen kann (siehe oben).

30.06.2011, 04:23

gonnabphd

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Ich glaube, es reicht zu zeigen, dass für jedes Produkt messbarer Mengen $\begin{eqnarray*} A\times B \subset \Omega \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(A\times B) \end{eqnarray*}$ messbar ist.

Dass folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal A \otimes \mathcal B \end{eqnarray*}$ charakterisiert ist als die kleinste 'monotone class', welche alle solchen 'rectangles' $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ enthält und daraus, dass die Bildung von Vereinigungen und Durchschnitten mit "Urbild nehmen" kommutiert.

Edit: Korrektur: Die Produkt-Sigma-Algebra ist charakterisiert als die kleinste monotone class, welche alle endlichen, disjunkten Vereinigungen von messbaren rectangles enthält, ändert allerdings nicht viel.

30.06.2011, 16:21

Merlinius

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Danke, ich werde mir das Ganze später mal ansehen und schauen, wie weit ich damit komme.

30.06.2011, 21:46

Merlinius

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Gilt eigentlich allgemein, dass die Summe und das Produkt zweier messbarer Funktionen wieder messbar ist?

Man könnte dann ggf. auch so argumentieren:

Sei $\begin{eqnarray*} g: \Omega \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R, (\omega, t) \mapsto f(\omega) \end{eqnarray*}$

Dann ist g messbar, denn: Sei $\begin{eqnarray*} A \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar, somit ist $\begin{eqnarray*} g^{-1}(A) = f^{-1} (A)\times \mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar. Nach Definition der Produkt-Sigma-Algebra ist auch die Projektion $\begin{eqnarray*} \pi_2 \end{eqnarray*}$ messbar. Und nun ist $\begin{eqnarray*} h = g - \pi_2 \end{eqnarray*}$ .

Wäre das auch richtig so?

30.06.2011, 22:07

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Gilt eigentlich allgemein, dass die Summe und das Produkt zweier messbarer Funktionen wieder messbar ist?

Ja. Allerdings braucht man zum Beweis dieser Tatsache, dass für messbare $\begin{eqnarray*} u, v: X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ auch die Abbildung

$\begin{eqnarray*} X \to \mathbb R^2, \quad x \mapsto (u(x), v(x)) \end{eqnarray*}$

messbar ist. Damit wären wir im Prinzip wieder bei obigem.

Moment mal... Ich habe mich oben ja vertippt!

Zitat:

Hier sollte $\begin{eqnarray*} A\times B \subset \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein. Sonst macht $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(A\times B) \end{eqnarray*}$ gar keinen Sinn, sry.

Das vereinfacht die Sache nun ziemlich stark. Denn jede offene Menge V in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ lässt sich als abzählbare Vereinigung von Quadern $\begin{eqnarray*} A_i\times B_i \end{eqnarray*}$ (mit A, B Intervallen) schreiben. Hat man gezeigt, dass das Urbild jedes solchen Quaders messbar ist, so ergibt sich, dass

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(V) = \Phi^{-1}\left(\bigcup_{i = 1}^\infty A_i\times B_i \right) = \bigcup_{i=1}^\infty \Phi^{-1}\left(A_i\times B_i\right) \end{eqnarray*}$

ebenfalls messbar ist.

30.06.2011, 22:37

Merlinius

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Zitat:

Original von gonnabphd
Hi,

Zitat:

Gilt eigentlich allgemein, dass die Summe und das Produkt zweier messbarer Funktionen wieder messbar ist?

Ich glaube, das geht auch ohne, zumindestens für die Summe. Wenn f, g messbar sind, dann auch g+a für alle reellen a (nach wiki)

Man kann zeigen, dass bei zwei reelle messbaren Funktionen f, h auch $\begin{eqnarray*} \{f < h\} \end{eqnarray*}$ messbar ist als Menge, somit ist auch $\begin{eqnarray*} \{f < g+a\} = \{f-g < a\} \end{eqnarray*}$ messbar als Menge für alle reellen a, und damit ist f-g messbar als Funktion nach wiki.

Den zweiten Teil deines Beitrags schaue ich mir jetzt mal genauer an, danke smile

Nachtrag: Ja, das kann ich auch gut nachvollziehen. Danke, so geht's natürlich auch gut. Ich hatte oben auch nicht gemerkt, dass dort $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hätte stehen sollen Hammer

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