Maximieren der Erwartung einer lognorm Zufallszahl

30.06.2011, 08:32

TKKG134

Maximieren der Erwartung einer lognorm Zufallszahl

Meine Frage:
Hallo,
kann mir bitte jemand erklären wie man zu dieser Lösung kommt:

maxlogEW^(1-a)=(1-a)ew+1/2(1-a)^2var(w)

Wobei W eine lognorm Zufallszahl ist und E für den Erwartungswert steht.

Meine Ideen:
Ich vermute, dass w dann logW ist, bin mir aber nicht sicher. Mein größtes Problem ist der Ausdruck (1-a)^2 ich verstehe nicht wo der herkommt, habe die gleiche Lösung nur eben ohne diesen Term...
Als Hilfe ist noch folgendes angegeben:
logEX=Elog(X)+1/2varlog(X)= Ex + 1/2var(x)

30.06.2011, 09:32

Zündholz

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RE: Maximieren der Erwartung einer lognorm Zufallszahl

Zitat:

Original von TKKG134

kann mir bitte jemand erklären wie man zu dieser Lösung kommt:
maxlogEW^(1-a)=(1-a)ew+1/2(1-a)^2var(w)

...

Als Hilfe ist noch folgendes angegeben:
logEX=Elog(X)+1/2varlog(X)= Ex + 1/2var(x)

Hallo,
ist deine Frage wie man von
$\begin{eqnarray*} log(E[X]) = E[log(X)] + \frac{1}{2} \cdot Var[log(X)] \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} log(E[W^{1-a}] = (1-a)\cdot E[log(W)] + \frac{1}{2} (1-a)^2 \cdot Var[log(W)] \end{eqnarray*}$
kommt?

1) $\begin{eqnarray*} log(W^{1-a}) = (1-a)\cdot log(W) \end{eqnarray*}$ . Ich denke das war dir klar?

2) Für das Quadrat: Schau dir nochmal die definition der Varianz an, also $\begin{eqnarray*} Var(X) = E[(X-E[X])^2] \end{eqnarray*}$ .

Schöne Grüße

30.06.2011, 09:33

René Gruber

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@TKKG134

Alles ziemlich schludrig aufgeschrieben. Allein der Ausdruck

Zitat:

Original von TKKG134
maxlogEW^(1-a)

wirft einige Fragen auf:

1. Maximum worüber? Also hinsichtlich welcher Variable wird hier maximiert?

2. Fehlende Klammerung: logEW^(1-a) kann alles mögliche bedeuten, z.B.

$\begin{eqnarray*} \log\left(E\left(W^{1-a}\right) \right) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \log\left( (E(W))^{1-a} \right) \end{eqnarray*}$

oder gar

$\begin{eqnarray*} \log\left( \left(E(W) \right)\right)^{1-a} \end{eqnarray*}$ .

Bei der wechselnden Verwendung von w und W ist auch nicht gerade klar, ob das nun Absicht oder schlicht Unachtsamkeit ist.

Summa summarum: Ein vor allem was die Formelsprache betrifft sehr schlecht lesbarer Beitrag. unglücklich

30.06.2011, 10:22

TKKG134

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@ René: sorry aber wie du bereits festgestellt hast habe ich von Formelsprache mal gar keine Ahnung und habe mich darauf beschränk was ich kann. In diesem Fall das Problem so abzuschreiben wie es mir gegeben war. Das mit dem kleinen/großen W verwirrt mich auch, deswegen meine Vermutung, dass es sich bei dem kleinen w um logW handelt...
Ich nehme grundsätzlich an, dass zumindest ein Teil meiner Probleme auch aus der von dir kritisierten schlampigen Schreibweise resultiert...

@Zündholz: Sehe ich das richtig, dass

Var(log(W^(1-a)))=E[log(W^(1-a)-E[log(W^(1-a)]^2]

=E[(1-a)w-E[(1-a)w]^2]

und ich dann (1-a) rausziehen kann, also

(1-a)^2*E[w-E[w]^2]

=(1-a)^2Var(w),

also mein gesuchter Term
Für den Fall, dass dem so ist, HERZLICHEN DANK Gott

30.06.2011, 10:29

René Gruber

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Zur wichtigsten meiner Fragen (hätte ich vielleicht deutlicher herausstellen sollen) sagst du allerdings nichts: Worüber wird hier maximiert??? Ist für mich irgendwie nicht erkennbar. unglücklich

EDIT: Ok, hab mal ein bisschen die Terme auf Plausibilität abgeklopft. Mit $\begin{eqnarray*} w=\ln(W) \end{eqnarray*}$ ist es tatsächlich so, dass für $\begin{eqnarray*} W \sim \log \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ (und damit $\begin{eqnarray*} w \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ ) die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \ln\left(E\left(W^{1-a}\right) \right) =(1-a)E(w) + \frac{1}{2}(1-a)^2 \operatorname{var}(w) =(1-a)\mu + \frac{1}{2}(1-a)^2 \sigma^2 \end{eqnarray*}$

folgt. D.h., dieses "Maximum" auf der linken Seite hat da nicht das geringste zu suchen!!!

30.06.2011, 11:00

Zündholz

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@TKKG:

Allerdings, kann ich dir auch nicht sicher sagen was das kleine w ist.
Da muss ich mich Rene anschließen:

Zitat:

Original von René Gruber
Worüber wird hier maximiert???

Edit: Sorry, Hab mich vertan W ist ja log normal verteilt

30.06.2011, 11:00

TKKG134

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Oh, sorry again.
Es handelt sich um ein Nutzenmaximierungsproblem. Wobei W^(1-a) ein Vermögensprozess ist dessen Erwartungswert maximiert werden soll...
Wenn ich das richtig verstehe wir das Maximierungsproblem aber eh erst nach der von mir erfragten Umstellung angegangen. In diesem Fall fehlt vor diesem ((1-a)Ew+1/2(1-a)^2var(w)) Term aus meiner ursprünglichen Frage ein „max“.
Das ist mir auch schon aufgefallen, es steht aber so in meiner Quelle.
Da ich nicht wusste, ob dies mit der Lösung meines Umstellungsproblems zu tun hat, habe ich es einfach so übernommen. Tut mir Leid, dass ich damit Verwirrung gestiftet habe...
Besten Dank auf jeden Fall, dass du dich mit meinem Problem auseinandergesetzt hast

30.06.2011, 11:08

René Gruber

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Der Schlüssel zum Verständnis dieser nachzuweisenden Gleichung ist, dass ja $\begin{eqnarray*} \ln\left(W^{1-a} \right) = (1-a)\ln(W) = (1-a)w \sim \mathcal{N}((1-a)\mu,(1-a)^2\sigma^2) \end{eqnarray*}$ ist, was dann wiederum bedeutet, dass auch $\begin{eqnarray*} W^{1-a} \end{eqnarray*}$ lognormalverteilt ist, um präzise zu sein $\begin{eqnarray*} W^{1-a} \sim \log\mathcal{N}((1-a)\mu,(1-a)^2\sigma^2) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die genannte Hilfe im Eröffnungsbeitrag habe ich dabei nicht benutzt. Mit der kann ich nichts anfangen, da ich nicht weiß, was dort mit $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gemeint ist. Für beliebige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gilt diese Eigenschaft dort jedenfalls nicht. unglücklich

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