Frage zur Kreisteilung (Komplexe Zahlen)

30.06.2011, 12:10

Rul

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Frage zur Kreisteilung (Komplexe Zahlen)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe gegeben:

$\begin{eqnarray*} z^{n} - r = 0 \end{eqnarray*}$

Wobei folgendes gilt:

n ist Element der natürlichen Zahlen

r ist Element der Reelen Zahlen

Man soll nun n und r so bestimmen, dass die Gleichung von $\begin{eqnarray*} u = 2*e^{i*\frac{\pi }{5} } \end{eqnarray*}$ erfüllt wird.

Ich weiß nicht wirklich wie ich hier an die Aufgabe rangehen sollte.
Ähnliche Aufgaben lauteten immer z.B.

$\begin{eqnarray*} z^{5} - u = 0 \end{eqnarray*}$

solche Aufgaben konnte ich lösen. Aber jetz hier... Da steh ich irgendwie aufm Schlauch....

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

Danke!

Viele Grüße

Meine Ideen:
Es steht ja in der Aufgabenstellung dass die Gleichung von u erfüllt werden sollte.

Darum denke ich, dass r = 2 sein muss? (da ja r bei u 2 ist?)
Aber schon weiß ich nicht mehr weiter...

Danke!

Viele Grüße

30.06.2011, 12:30

Rul

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Hallo zusammen!

Mir ist jetzt grad eine Idee gekommen:

Kann es sein, dass das n z.B. 5 sein sollte? Da ich in der Eulerschen Schreibweise ja 1/5*180° stehen habe?

Mit dem r versteh ich das noch nicht so richtig, r war in allen anderen Aufgaben eine komplexe Zahl...

Dankeschön!

Gruß

30.06.2011, 12:33

lgrizu

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In welchem Zusammenhang stehen denn r, u und z?

Bei dir steht so etwas wie: bestimme die Lösung der Gleichung a+b=0, so dass c=5 ist.

Wenn man aber keinen Zusammenhang zwischen a,b und c hat, dann ist die Bedingung c=5 ziemlich unnütz.

30.06.2011, 12:49

Rul

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Hallo!

Gegeben ist die komplexe Zahl u

Nun soll n Element Natürliche Zahlen
Und r Element Reelle Zahlen bestimmt werden, so dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{n} - r = 0 \end{eqnarray*}$ von u erfüllt wird.

Das ist alles gegeben.

Ich hab jetzt ein wenig rumprobiert. Ich schätze mal, dass "r" in der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{n} - r = 0 \end{eqnarray*}$ nichts mir dem Radius zu tun hat. Oder??

Dann hätte ich es so gelöst:

Ich suche zuerst mal die die Nullstelle von u. Die Nullstelle ist ja erreicht, wenn der Winkel der Exponentialfunktion 360° = 0° beträgt:

$\begin{eqnarray*} u^{5} = {(2* e^{i*\frac{\pi }{5} })}^{5} <br /> <br /> = 2^{5} * e^{i*\frac{5}{5} * \pi } <br /> = 2^{5} * e^{i*\pi } = 2^{5} * e^{0 } = 2^{5}<br /> <br /> ==> u^{5} - 2^{5} = 0 \end{eqnarray*}$

Was sagt ihr dazu? :-)

Viele Grüße

30.06.2011, 12:58

lgrizu

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Ich verstehe den Zusammenhang zwischen z, r und u immer noch nicht.

Sollst du vielleicht, und das ist reine Spekulation, $\begin{eqnarray*} (2 \cdot \exp(i \cdot \frac{\pi}{5}))^n-r=0 \end{eqnarray*}$ bestimmen, also u für z einsetzen?

30.06.2011, 13:01

klarsoweit

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RE: Frage zur Kreisteilung (Komplexe Zahlen)
Ich verstehe das so, daß man ein n bestimmen soll, so daß u die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n - r = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt, wobei das r reell sein soll.

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30.06.2011, 13:08

Rul

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Ja, also mit dem z und u bin ich ein bisschen verwirrt.

Kann man das dann auch so schreiben, oder: (evtl. sind die Zahlen z und r nur so gewählt um verwirrung zu stiften :-))

$\begin{eqnarray*} u^{n} - r = 0 \end{eqnarray*}$

allzu schwer denke ich sollte die Lösung nicht sein. Aber erst mal draufkommen....

Was sagt ihr dann zu meiner oben aufgeführten Lösung mit n = 5 und r = 2^5?

Viele Grüße!

30.06.2011, 13:37

klarsoweit

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Im Prinzip ok, nur ist $\begin{eqnarray*} e^{i*\pi } \neq e^0 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.06.2011, 13:58

Rul

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Hallo!

Ich weiß das dass nicht korrekt ist. Wie kann ich das denn ganz korrekt darstellen? :-) Im Prinzip habe ich ja eine 360° Drehung, und somit bin ich wieder bei 0, oder? :-)

Noch eine weitere Erweiterung:
(Bezieht sich auch die oben genante Aufgabe)

Ich soll nun eine weitere, von u verschiedene Lösung der Gleichung angeben, die ich gefunden habe:

$\begin{eqnarray*} z^{5} - 2^{5} = 0 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich denn ja jetzt vor??

Danke!

Viele Grüße

30.06.2011, 14:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rul
Im Prinzip habe ich ja eine 360° Drehung, und somit bin ich wieder bei 0, oder? :-)

pi ist keine 360°-Drehung.

30.06.2011, 14:31

Rul

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Oh, verdammt.... Da hab ich mich wieder vertan....
Aber warum stimmt dann meine Gleichung Lösung wieder?

Dann kommt ja nicht 2^5 raus, sondern:

$\begin{eqnarray*} 2^{5} * e^{i*\pi } \end{eqnarray*}$

Bitte um Hilfe :-)

Gruß

30.06.2011, 15:03

klarsoweit

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Und für $\begin{eqnarray*} e^{i*\pi } \end{eqnarray*}$ gibt es eine wunderschöne reelle Zahl. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Außerdem habe ich nicht gesagt, daß deine Lösung ok ist, sondern nur im Prinzip stimmt. Eben bis auf das obige Problem.

30.06.2011, 16:35

Rul

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Hi!

Okay, einfach umwandeln und schon kommt man auf eine schöne Zahl :-) Danke!

Kann mir denn bitte noch jemand hier weiterhelfen:

Zitat:

Hallo! Ich weiß das dass nicht korrekt ist. Wie kann ich das denn ganz korrekt darstellen? :-) Im Prinzip habe ich ja eine 360° Drehung, und somit bin ich wieder bei 0, oder? :-) Noch eine weitere Erweiterung: (Bezieht sich auch die oben genante Aufgabe) Ich soll nun eine weitere, von u verschiedene Lösung der Gleichung angeben, die ich gefunden habe: $\begin{eqnarray*} z^{5} - 2^{5} = 0 \end{eqnarray*}$ Wie gehe ich denn ja jetzt vor?? Danke! Viele Grüße

Danke!

Viele Grüße!

01.07.2011, 01:09

Rul

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Hallo!

Nach langem rumprobieren uns lesen bin ich nun auf folgende Lösung zu meiner Frage gekommen. (Frage siehe ein Posting drüber :-))

Die Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} z = 2 * e^{i*(1/5 *\pi + v/5*2*\pi )} \end{eqnarray*}$

wobei folgendes gilt: 0 <= v < 5 v Element Natürliche Zahlen.

Somit gilt folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} z^{5} + 2^{5} = 0 \end{eqnarray*}$

In diesem Zusammenhang habe ich gelesen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} z = 2 * e^{i*(1/5 *\pi + v/5*2*\pi )} \end{eqnarray*}$
um die 5. Einheitswurzel handelt.
Warum heißt es hier Einheitswurzel? Ich dachte Einheitswurzel heißt es nur, wenn die n-te Potenz 1 ist und der Radius 1 ist??

Was mir dabei komisch vorkommt:
Wir haben ähnliche Aufgaben berechnet, wie z.B.:

$\begin{eqnarray*} z^{4} - u = 0 \end{eqnarray*}$

Wobei folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} <br /> u = \frac{625}{256} * e^{-i * 3/5*\pi } \end{eqnarray*}$

Hier wurde dann Z0, Z1, Z2, Z3 ausgerechnet.
Allerdings hatte hier der Radius immer den Wert $\begin{eqnarray*} \frac{625}{256} ^{1/4} \end{eqnarray*}$

Warum wird hier ^(1/4) gerechnet und oben in der Aufgabe nicht??
Meine Vermutung: In der obigen Aufgabe hat ja z die Potenz 5 und 2 die Potenz 5.
In der unteren Aufgabe hat nur z die Potenz 4, somit muss ich die 4. Wurzel ziehen, damit ich auf u komme??

Ich hoffe ihr helft mir weiter. Die Fragen sind eh nicht schwer, aber ich sitz schon den ganzen Tag am Mathe - Lernen und irgendwann kennt man sich nicht mehr aus :-)

Also Vielen Dank schon mal!!

Viele Grüße :-)

01.07.2011, 09:12

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rul
In diesem Zusammenhang habe ich gelesen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} z = 2 * e^{i*(1/5 *\pi + v/5*2*\pi )} \end{eqnarray*}$
um die 5. Einheitswurzel handelt.

Wo willst du denn das gelesen haben?

Zitat:

Original von Rul
Ich dachte Einheitswurzel heißt es nur, wenn die n-te Potenz 1 ist und der Radius 1 ist??

Das ist richtig.

Zitat:

Original von Rul
Was mir dabei komisch vorkommt:
Wir haben ähnliche Aufgaben berechnet, wie z.B.:

$\begin{eqnarray*} z^{4} - u = 0 \end{eqnarray*}$

So langsam komme ich an den Punkt, wo es Sinn macht, wenn du mal deine Aufgaben komplett und im originalen Wortlaut postest.

01.07.2011, 09:59

Rul

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Hallo!

Das mit der Einheitswurzel hab ich mir so aufgeschrieben. Sogar öfters....

Hier mal die Aufgabenstellungen:
Also die Erste Aufgabe lautet:

Gegeben ist die komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} u = 2*e^{i*\frac{\pi }{5} } \end{eqnarray*}$ .
Man bestimme n Element Natürliche Zahlen und r Element reelle Zahlen, sodass die Gleichung $\begin{eqnarray*} z^{n} - r = 0 \end{eqnarray*}$ von u erfüllt wird.

Die Andere Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben ist die Zahl $\begin{eqnarray*} u = \frac{625}{256} * e^{-i * 3/5*\pi } \end{eqnarray*}$ . Geben Sie den Betrag von u an und bestimmen Sie alle Lösungen z1, z2... der Gleichung
$\begin{eqnarray*} z^{4} - u = 0 \end{eqnarray*}$
Der Betrag ist hier ja 625/256, oder??
Dann eben die vier Wurzeln ausrechnen, z0, z1, z2, z3 und schon ist man fertig. Hier ist es aber eben so, dass hier beim Radius immer die Wurzel gezogen wurde ^(1/4).

Bei der obigen Aufgabe ist ja die Lösung
$\begin{eqnarray*} z = 2 * e^{i*(1/5 *\pi + v/5*2*\pi )} \end{eqnarray*}$ . Hier wurde eben keine Wurzel von 2 gezogen und es steht bei einigen Aufgaben, die so ähnlich sind drüber, es handelt sich um die n -te Einheitwurzel, hier also um die 5.??

Was sagst ihr dazu?

Viele Grüße

01.07.2011, 10:10

klarsoweit

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Das liegt eben daran, daß die erste Aufgabe unklar gestellt wurde. Ich habe bei der ersten Aufgabe das so verstanden, daß man u für das z in $\begin{eqnarray*} z^n - r = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzt und dann ein passendes n und ein reelles r sucht, so daß die Gleichung stimmt.

Bei der anderen Aufgabe geht es um die Bestimmung der diversen z-Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^4 = u \end{eqnarray*}$ .

Das muß man eben feinfühlig auseinander halten. smile

smile

01.07.2011, 12:34

Rul

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Hi,

ich hab sehr lange gebraucht um die Aufgabe zu verstehen, bzw. habe sie noch nicht so ganz zu 100% verstanden.

Zitat:

Dann eben die vier Wurzeln ausrechnen, z0, z1, z2, z3 und schon ist man fertig. Hier ist es aber eben so, dass hier beim Radius immer die Wurzel gezogen wurde ^(1/4).

Bei der obigen Aufgabe ist ja die Lösung
. Hier wurde eben keine Wurzel von 2 gezogen und es steht bei einigen Aufgaben, die so ähnlich sind drüber, es handelt sich um die n -te Einheitwurzel, hier also um die 5.??

Könnt ihr mit das bitte mit dem Einheitskreis und den Wurzeln erklären? Warum ich bei der einen Aufgabe die Wurzel von r verwende und beim anderen mal nicht?

Danke!

Gruß

01.07.2011, 12:45

klarsoweit

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Hat man $\begin{eqnarray*} u := r \cdot e^{i \phi} \end{eqnarray*}$ gegeben und sucht Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^n = u \end{eqnarray*}$ so gilt:

$\begin{eqnarray*} z_k = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i \cdot \frac{\phi + 2k \pi}{n}} \end{eqnarray*}$ mit k = 0, ..., n-1

Fertig. Aus. Ende.

Der Rest ist genaues Lesen der gestellten Aufgabe.

01.07.2011, 15:06

Rul

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Hallo!

Danke für die Hilfe bei der Aufgabe :-)

Zitat:

. Hier wurde eben keine Wurzel von 2 gezogen und es steht bei einigen Aufgaben, die so ähnlich sind drüber, es handelt sich um die n -te Einheitwurzel, hier also um die 5.??

Würdest Du mir aber bitte noch mal das mit der Einheitswurzel erklären? Da komm ich nicht klar....
Wenn ich gegeben hab:
$\begin{eqnarray*} z^{5} - 2^{5} = 0 \end{eqnarray*}$
Ist dann
$\begin{eqnarray*} z = 2 * e^{i*(1/5 *\pi + v/5*2*\pi )} \end{eqnarray*}$
mit v = 0,1,2,3 oder 4

Die 5. Einheitswurzel davon? Oben hast du ja geschrieben dass das nicht stimmt??

Bitte hilf mir hier noch ein letztes mal weiter, dann hab ich alles verstanden :- :-)

Danke!!!! :-)

Viele Grüße

01.07.2011, 15:18

klarsoweit

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Deine Lösung für z stimmt so nicht. Beispiel v=0:

Dann ist $\begin{eqnarray*} z_0 = 2 \cdot e^{i * 1/5 *\pi} \end{eqnarray*}$ .

Somit ist $\begin{eqnarray*} z_0^5 = 2^5 \cdot e^{i \cdot\pi} \end{eqnarray*}$ .

Ich erwähnte weiter oben schon, daß $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot\pi} \neq e^0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} e^{i \cdot\pi} \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

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