zeigen, dass eine Körpererweiterung normal ist

30.06.2011, 14:19

arattilien

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zeigen, dass eine Körpererweiterung normal ist

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe, die über drei Teile geht.

1. z.z. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ ist normal über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

2. z.z. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}+i\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ ist normal über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

3. z.z. $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}+i\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ ist nicht normal über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ideen sind, dass ich es über den Zerfällungskörper zeigen kann.

Gibt es da noch einen anderen Weg oder liege ich damit richtig?

Dankeschön!
arattilien

30.06.2011, 15:14

juffo-wup

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RE: zeigen, dass eine Körpererweiterung normal ist

Zitat:

Original von arattilien
Meine Ideen sind, dass ich es über den Zerfällungskörper zeigen kann.

Es ist nicht ganz klar, was du hier meinst. Dass die Körpererweiterungen jeweils normal sind, ist jedenfalls äquivalent dazu, dass alle Nullstellen des Minimalpolynoms des erzeugenden Elementes schon im Erweiterungskörper liegen.

30.06.2011, 15:36

arattilien

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Ok, ja so ähnlich hab ich es gemeint.

Also ich hab mich jetzt mal daran versucht:

1) mein Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2-5 \end{eqnarray*}$ . dann liegen die Nullstellen doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} (i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ oder? Somit ist das doch ein Zerfällungskörper von p(x) und die Körpererweiterung ist normal.

2) hier bin ich nach Vereinfachen auf $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2-2i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ als Minimalpolynom gekommen. Aber wie kann ich damit argumentieren?

3) ich habe dann, da ich über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ arbeite das ganze nochmal ins Quadrat genommen. und $\begin{eqnarray*} p(x)=x^4+20 \end{eqnarray*}$ bekommen. Ist das überhaupt nötig? Ich verstehe die Argumentation nicht so genau..

30.06.2011, 15:54

juffo-wup

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Zitat:

Original von arattilien
1) mein Minimalpolynom ist $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2-5 \end{eqnarray*}$ . dann liegen die Nullstellen doch in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} (i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ oder? Somit ist das doch ein Zerfällungskörper von p(x) und die Körpererweiterung ist normal.

Richtig.

Zitat:

2) hier bin ich nach Vereinfachen auf $\begin{eqnarray*} p(x)=x^2-2i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ als Minimalpolynom gekommen. Aber wie kann ich damit argumentieren?

Was sind denn die anderen Nullstellen des Minimalpolynoms? Du kannst hier im Prinzip genauso wie bei 1) argumentieren.

Zitat:

3) ich habe dann, da ich über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ arbeite das ganze nochmal ins Quadrat genommen. und $\begin{eqnarray*} p(x)=x^4+20 \end{eqnarray*}$ bekommen. Ist das überhaupt nötig? Ich verstehe die Argumentation nicht so genau..

Du hast jetzt ein Polynom mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gefunden, das $\begin{eqnarray*} (1+i)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ als Nullstelle hat. Ist dieses Polynom irreduzibel und damit das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} (1+i)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ ? Sonst wird das Minimalpolynom ein geeigneter Teiler dieses Polynoms sein. Die anderen Nullstellen des Minimalpolynoms kannst du mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen bestimmen. Dann wäre zu entscheiden, ob sie in dem Körper liegen.

30.06.2011, 19:05

arattilien

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also das Prinzip habe ich verstanden. Danke!

2) ah jetzt weiß ich wo mein Fehler war... Klar, ich bekomme für die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{2i} \sqrt[4]{5}=\pm \sqrt{2} \cdot (cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4})) \cdot \sqrt[4]{5} = \pm \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}) \cdot \sqrt[4]{5} = \pm (1+i)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ raus. Dann liegen sie klar in meiner Körpererweiterung und es ist normal.

3) in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist es doch schon irreduzibel... wenn ich die Nullstelle ausrechne, komme ich wieder nur auf das wie bei (2), aber ich müsste doch 4 Nullstellen haben...

30.06.2011, 19:27

juffo-wup

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Zitat:

Original von arattilien
2) ah jetzt weiß ich wo mein Fehler war... Klar, ich bekomme für die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x=\pm \sqrt{2i} \sqrt[4]{5}=\pm \sqrt{2} \cdot (cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4})) \cdot \sqrt[4]{5} = \pm \sqrt{2} \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{i}{\sqrt{2}}) \cdot \sqrt[4]{5} = \pm (1+i)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ raus. Dann liegen sie klar in meiner Körpererweiterung und es ist normal.

Ja.. wobei du auch einfach hättest feststellen können, dass wegen des $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (1+i)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} - (1+i)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle sein muss.

Zitat:

3) in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist es doch schon irreduzibel...

Kannst du das auch beweisen?

Zitat:

wenn ich die Nullstelle ausrechne, komme ich wieder nur auf das wie bei (2), aber ich müsste doch 4 Nullstellen haben...

Das kann nicht sein, denn jedes irreduzible Polynom vom Grad n mit Koeffizienten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ hat n verschiedene Nullstellen, also muss es wie du selbst sagst 4 verschiedene komplexe Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^4+20 \end{eqnarray*}$ geben.
Tipp: Bei 2) war ja wegen des $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ mit jeder Nullstelle das Negative davon auch immer eine Nullstelle, da $\begin{eqnarray*} ((-1)a)^2=(-1)^2a^2=a^2. \end{eqnarray*}$ Im Fall des Polynoms $\begin{eqnarray*} x^4+20 \end{eqnarray*}$ kann man eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auch noch mit anderen Zahlen außer $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, um weitere Nullstellen zu erhalten.

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30.06.2011, 19:45

arattilien

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ja das hätte ich sehen können.. Hammer

Hammer

aber warum einfach, wenns auch kompliziert geht...

hmm.. also mir würde nur einfallen, dass ich es nich mit i multiplizieren könnte, weil $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^2=1 \end{eqnarray*}$ . Hast du das gemeint? Dann wären die Nullstellen also $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm (1+i) \cdot \sqrt[4]{5} ; x_{3,4}=\pm i \cdot (1+i) \cdot \sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$

oder?

Das würde aber bedeuten, dass nicht alle Nullstellen in meiner Erweiterung liegen, also ist es kein Zerfällungskörper des Polynoms über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und somit auch nicht normal.

30.06.2011, 20:38

juffo-wup

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Zitat:

Original von arattilien
hmm.. also mir würde nur einfallen, dass ich es nich mit i multiplizieren könnte, weil $\begin{eqnarray*} i^2=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-1)^2=1 \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} i^4 \end{eqnarray*}$ ist ja 1.

Zitat:

Hast du das gemeint? Dann wären die Nullstellen also $\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\pm (1+i) \cdot \sqrt[4]{5} ; x_{3,4}=\pm i \cdot (1+i) \cdot \sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Das würde aber bedeuten, dass nicht alle Nullstellen in meiner Erweiterung liegen, also ist es kein Zerfällungskörper des Polynoms über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und somit auch nicht normal.

Wie würdest du beweisen, dass nicht alle Nullstellen drin liegen?

Um den Beweis zu 2) zu vervollständigen, muss man wie mir übrigens gerade auffällt noch erwähnen, warum $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ überhaupt eine Erweiterung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ ist.

30.06.2011, 21:17

arattilien

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zu 2) hätte ich gesagt, dass es eine erweiterung ist, da ich $\begin{eqnarray*} (i+1)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ nicht mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ darstellen kann.

hmm.. ich weiß nicht, wie ich beweisen kann, dass nicht alle Nullstellen drin liegen unglücklich

unglücklich

Angenommen $\begin{eqnarray*} i(i+1)\sqrt[4]{5} \in \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ , dann müsste ja auch $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ , oder?

Wie kann man $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ denn darstellen? Der müsste ja die Dimension 4 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ haben.. dann darf ich es sicher nicht so darstellen: { $\begin{eqnarray*} a+b(i+1)\sqrt[4]{5} : a,b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ } oder?

30.06.2011, 21:34

juffo-wup

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Zitat:

Original von arattilien
zu 2) hätte ich gesagt, dass es eine erweiterung ist, da ich $\begin{eqnarray*} (i+1)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ nicht mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ darstellen kann.

Ich meinte den Teil der Aussage, dass $\begin{eqnarray*} i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ liegt.

Zitat:

Angenommen $\begin{eqnarray*} i(i+1)\sqrt[4]{5} \in \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ , dann müsste ja auch $\begin{eqnarray*} i \in \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja, das ist schon mal ein brauchbarer Ansatz.

Zitat:

Wie kann man $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ denn darstellen? Der müsste ja die Dimension 4 über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ haben.. dann darf ich es sicher nicht so darstellen: { $\begin{eqnarray*} a+b(i+1)\sqrt[4]{5} : a,b \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ } oder?

Richtig, diese Darstellung hat man nur bei Grad 2. Da der Grad 4 ist, ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5})=\{a+b(i+1)\sqrt[4]{5}+c((i+1)\sqrt[4]{5})^2+d((i+1)\sqrt[4]{5})^3\, |\, a,b,c,d\in\mathbb{Q}\} \end{eqnarray*}$ .. also wäre ein weiterer möglicher Ansatz, um einen Widerspruch zu bekommen, zu zeigen, dass eine der Nullstellen von $\begin{eqnarray*} x^4+20 \end{eqnarray*}$ nicht diese Form haben kann. Aber das ist hier eine aufwändige Methode.

Da $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1+i)\sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ im Körper liegen, hätte man ja auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ im Körper. Nun aber $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})\subset \mathbb{R}. \end{eqnarray*}$ Weißt du jetzt wie man weitermachen könnte?

30.06.2011, 21:59

arattilien

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nein, leider habe ich nicht ganz verstanden worauf du damit hinaus willst unglücklich

unglücklich

Ich habe solche Beweise bis jetzt nur im Zweidimensionalen geführt und da hat es mit der Körperdarstellung ganz gut geklappt. Aber hier ist das ja mit der Dimension 4 sehr umständlich...

30.06.2011, 22:08

arattilien

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nochma zu dem 2), kann ich da argumentieren, dass $\begin{eqnarray*} i\sqrt{5} \in \mathbb{Q}((i+1)\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} ((i+1)\sqrt[4]{5})^2=2i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ?

30.06.2011, 22:09

juffo-wup

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Aus der Widerspruchsannahme, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5})/\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ normal sei, folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5}\in \mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5}). \end{eqnarray*}$
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]=4 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]=4 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} x^4-5 \end{eqnarray*}$ das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5} \end{eqnarray*}$ ist.
Untersuche die Erweiterungskette $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})\subset \mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5}). \end{eqnarray*}$

30.06.2011, 22:41

arattilien

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also das einzige was mir jetzt einfällt, worauf ich es untersuchen kann ist der Gradsatz..

Aber da komm ich dann auch nicht wieter weil ich ja nicht weiß was $\begin{eqnarray*} \left[ \mathbb{Q} ((i+1)\sqrt[4]{5}) : \mathbb{Q} (\sqrt[4]{5}) \right] \end{eqnarray*}$ ist.. wenn es 1 wäre, würde die Gleichung ja aufgehen, deswegen geh ich ma davon aus, dass es nicht 1 ist...

30.06.2011, 23:00

juffo-wup

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Wenn du schon auf den Gradsatz gekommen bist, verstehe ich nicht, was noch das Problem ist. Anwendung des Gradsatzes:

$\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})]\cdot [\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}] \end{eqnarray*}$

Nun ist die rechte Seite =4 und der rechte Faktor auf der linken Seite gleich 4. Also muss ganz klar $\begin{eqnarray*} [\mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5}):\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})]=1 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5})=\mathbb{Q}(\sqrt[4]{5}) \end{eqnarray*}$ sein.

Nun ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(\sqrt[4]{5})\subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wie schon gesagt, aber natürlich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}((1+i)\sqrt[4]{5})\not\subset\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , Widerspruch.

30.06.2011, 23:08

arattilien

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achso!! ich hab jetzt überlegt ob ich irgendwie schon die Gradformel schief gehen lassen könnte, aber wie gesagt, da bin ich dann stecken geblieben. So macht es aber Sinn.

Ich danke dir VIELMALS dass du dir so viel Zeit für mich genommen hast! Ich habe dabei wirklich viel gelernt Freude

Freude

DANKE!!!

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