Prinzip! Koordinaten eines Punkts ergänzen -> Raute

30.06.2011, 14:52

Padro

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Koordinaten eines Punkts ergänzen -> Raute

Hi Leute.
Ich übe gerade an der Mathe Schulaufgabe des letztjährigen Kurses und habe folglich keine Lösungen, um dann nachprüfen zu können, ob meine Lösung stimmt und nachvollziehen kann ich so leider auch nix.
Aber ihr könnt mir sicher helfen.

Ich schreib einfach mal die Aufgabe hin:

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (2/-2/0) B (-2/1/3) und C (-6/4/0) gegeben.
a) Zeige, dass das Dreieck ABC gleichschenklig und nicht gleichseitig ist.

Das ist ja recht einfach. Ich habe eben den Betrag von AB, AC und BC errechnet und 2x kam $\begin{eqnarray*} \sqrt{34} \end{eqnarray*}$ raus. Ich denke das stimmt..

Jetzt aber zur Aufgabe b)
b) Bestimme die Koordinaten eines weiteren Punktes D so, dass das Viereck ABCD eine Raute ist.

Wie ich gehe die Aufgabe an?
Ich muss ja irgendwas nach D auflösen können. Nur was?

---------
Und dann noch Aufgabe c)
c) Berechne alle Innenwinkel der Raute ABCD

Keine Angst, hier will ich nicht viel wissen. Nur, ob man da dann bei jedem Winkel das Skalarprodukt machen soll? ALso AB, BC, CD, AD
Aber das würde dann ja ein wenig lange dauern, oder? Kann man das auch schneller lösen?

30.06.2011, 18:36

opi

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Zu b):

Mache eine Skizze, in der Dein gleichschenkliges Deieck deutlich sichtbar ist. Vervollständige die Skizze zur Raute und überlege, welchen Punkt Du mit welchem Vektor auf D abbilden kannst.

Zu c):
Die Berechnung eines Winkels sollte genügen.

30.06.2011, 18:39

Leopold

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Jede Raute ist ein Parallelogramm. Du brauchst also den vierten Punkt eines Parallelogramms, von dem dir schon drei Punkte bekannt sind. Das ist aber eine Standardaufgabe: Anhängen eines geeigneten Vektors an einen Punkt. Mache dir eine Skizze, dann wird alles klar. Achte darauf, welche Seiten des Dreiecks gleichlang sind.

01.07.2011, 13:23

Padro

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Ok, ich habe jetzt viel darüber nachgedacht und werde nachher versuchen, die AUfgabe zu lösen und meine Lösung dann hier (heute Abend oder morgen) präsentieren.
WÄre echt toll, wenn mir dann einer von euch sagen kann, ob ich alles richtig gemacht habe und wenn nicht, mich dann verbessert.

01.07.2011, 20:36

Padro

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Mist, ich komm einfach nicht drauf.

Also Vektor CD müsste ja eigentlich dem Vektor AB entsprechen!?
Kann ich das dann einfach nach D auflösen?
also
AB=CD
AB-C=D

??
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, weil wenn ich einmal so eine Aufgabe gelöst habe, dann kann ich das auch, aber bis zur ersten richtigen Lösung braucht's halt ne Weile. unglücklich

unglücklich

unglücklich

Hammer

01.07.2011, 20:54

opi

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Du mußt Die Richtung beachten.
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$

Zitat:

AB=CD
AB-C=D

Vektoren sind keine Kekse, die man nach belieben zer- und verteilen kann.

Du kannst es so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$

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01.07.2011, 20:57

Padro

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Zitat:

Original von opi
Du mußt Die Richtung beachten.
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$

Zitat:

AB=CD
AB-C=D

Vektoren sind keine Kekse, die man nach belieben zer- und verteilen kann.

Du kannst es so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$

Ich danke dir Gott

Gott

Ich weiß, die Meisten halten es für schlecht, wenn man jemandem ziemlich genau sagt, was er rechnen soll. ABer mir persönlich bringt das einfach am meisten, weil wenn ich einmal an einem praktischen Beispiel gesehen habe, wie man eine bestimmte Aufgabe löst, dann kann ich mir das für die Zukunft viel besser vorstellen.

Nur 2 Fragen noch, bevor ich das ganze nachher noch (oder eher wahrscheinlich morgen) dann auch mit Zahlen ausrechne:
Was ist O?
Und wieso ist es BA? Ich Idiot hätte bestimmt wieder AB berechnet. Aber ist ja klar, bei Vektoren ist es halt nicht egal, wie rum man es schreibt, weil ja immer Spitze Minus Fuß gilt.

01.07.2011, 21:07

opi

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O ist der Ursprung des Koordinatensystems.

Der Punkt E (1|2|3) hat den Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {OE}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Punkte und Vektoren sind zwei verschiedene Dinge.
Das Berechnen Deines Punktes D dauert keine fünf Minuten und sollte noch heute zu schaffen sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2011, 21:10

Padro

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Ok, ich mach die Aufgabe gleich.
Nur haben wir in der Schule das mit dem Punkt O nicht gemacht, daher weiß ich nicht, ob ich das in der Schulaufgabe dann auch anwenden kann ohne Punktabzug zu bekommen, weil meine Lehrerin vllt eine andere Herangehensweise an die Aufgabe erwartet..

01.07.2011, 21:16

Padro

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So, ich hoffe das stimmt jetzt so.
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} -6 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.07.2011, 21:23

opi

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Leider nicht, Du hast einen Vorzeichenfehler im Vektor BA.

01.07.2011, 21:26

Padro

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In BA?

Also so hab ich gerechnet

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2-(-2) \\ -2-1 \\ 0-(-3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Oder muss man das Ganze addieren, wahrscheinlich.

EDIT. Stimmt, klar, man muss addieren.
Also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist BA

und dann gerechnet
haben wir für OD
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.07.2011, 21:31

opi

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Der Rechenweg ist richtig, in der Aufgabe schriebst Du aber

Zitat:

B (-2/1/3)

Edit: Nun hast Du es in Deinem Edit falsch gemacht. Subtrahieren war schon richtig.

01.07.2011, 21:32

Padro

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ohhh verschrieben,
es heißt -3 und nicht 3
gleich ausbessern

dann hat das oberste ergebnis also doch gestimmt?
mit
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, bei der nächsten Aufgabe muss man den Mittelpunkt der Diagonale BD berechnen und der Punkt steht bereits zur Kontrolle dran (-2/1/0) . Heißt, es müsste stimmen.

Damit ganz ganz vielen herzlchen Dank an Dich, opi, aber natürlich auch an Leopold.
Vor allem an die Sache mit dem Punkt O, denn das macht die Sache ungemein leichter, denn so habe ich den Vektor D sofort als ganzes da.

01.07.2011, 21:51

opi Notfall

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Aufgrund techn Probleme kann ich nur kurz und unregistriert antworten:

Ja, Punkt D stimmt.

01.07.2011, 23:39

opi

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Nachdem ich nun wieder Lesen und Schreiben kann:

Zitat:

denn so habe ich den Vektor D sofort als ganzes da.

Es gibt keinen Vektor D, sondern nur einen Punkt D und einen Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {OD} \end{eqnarray*}$ der manchmal (das kann aber zu Mißverständnissen führen) mit $\begin{eqnarray*} \vec{d} \end{eqnarray*}$ bezeichnet wird.

02.07.2011, 12:30

Padro

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So, ich hab mich jetzt mal an die Berechnung des WInkels gemacht, mal sehen ob das stimmt.

Ich habe die Vektoren $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BA} \end{eqnarray*}$ genommen
und dann

$\begin{eqnarray*} cos \gamma \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\overrightarrow {BC*\overrightarrow {BA}}} \end{eqnarray*}$ (der lange Vektorpfeil soll eigentlich nur über BC stehen, aber ich check nicht, wie ich das wieder hinbekomme.)
Und dass dann Mal genommen mit BC verkettet mit BA
also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4\\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 4 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(anstatt * eben der Verkettungsbobbel)
Ergebnis war dann ~0,47
hab dann cos gemacht = ~61,93°

da es ja eine Raute ist, muss es ja einen 2. Winkel mit dieser Gradanzahl geben, also nochmal 61,93°
Die hab ich dann addiert (~123,86 kam raus)und dann
360°-123,86° = ~236,14°
das dann durch 2 geteilt, weil es´´die anderen Winkel ja auch gleich groß sein sollen
dann kam ~118,1° raus

also die Winkel

Alpha: ~118,1
Beta: ~118,1
Gamma: ~61,93°
Delta: ~61,93°

kann das stimmen?

02.07.2011, 15:35

opi

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Die Winkelgrößen stimmen, Du hast sie aber den falschen Winkeln zugeordnet. Ein Blick auf die Skizze wird helfen. Bei Deinem Rechenweg fehlen mir im Nenner Betragsstriche, ich nehme an, Du meinst:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma )=\frac{ \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA}} {| \overrightarrow {BC} | \cdot | \overrightarrow {BA} | } \end{eqnarray*}$

Und: Runde die Winkel bitte auf eine einheitliche Nachkommastellenzahl, sonst kommst Du nicht auf eine Winkelsumme von 360°.

02.07.2011, 15:37

Padro

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Zitat:

Original von opi
Die Winkelgrößen stimmen, Du hast sie aber den falschen Winkeln zugeordnet. Ein Blick auf die Skizze wird helfen. Bei Deinem Rechenweg fehlen mir im Nenner Betragsstriche, ich nehme an, Du meinst:

$\begin{eqnarray*} cos(\gamma )=\frac{ \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BA}} {| \overrightarrow {BC} | \cdot | \overrightarrow {BA} | } \end{eqnarray*}$

Und: Runde die Winkel bitte auf eine einheitliche Nachkommastellenzahl, sonst kommst Du nicht auf eine Winkelsumme von 360°.

Ja, genau. So hab ich's gemeint und ja auch berechnet, nur leider vergessen.

Also müssten Alpha und Gamma gleichgroß sein
und Beta und Delta, oder?

02.07.2011, 15:45

opi

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Ja.

02.07.2011, 15:51

Padro

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Dann danke ich vielmals Gott

Gott

Hab noch 2Teilaufgaben, die mache ich dann nacher noch und muss euch alle hier leider nochmal kurz belästigen

Die Raute ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S (4/9/0)

f) Weise nach, dass [MS] die Höhe der Pyramide ist

Hab ich im Moment noch keine Ahnung, mal schauen wie's nachher aussieht.

g) Berechne das Volumen V der Pyramide

Da braucht man ja nur die Formel anwenden, da sollte ich kaum Schwirigkeiten bekommen.

03.07.2011, 13:09

Padro

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Noch eine Bestätigungsfrage zu dem Bestimmen einer Koordinate, ob ichs wirklich kapiert habe.
Keine Angst, da müsst ihr mir nicht viel sagen.

1.In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Eckpunkte (-2/1/0), B (6/3/-2) und H 4/1/8) gegeben.

a) Das Dreieck ABH wird durch den Punkt G zum Rechteck ABGH ergänzt. Berechne die Koordinaten von G.

Ich hätte gesagt, es läuft auch wieder so

OG = OH + BA

ja, oder nein?

und
2. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (1/2/3), B (5/0/-1) gegegeben.

a) Bestimme die Koordinaten eines weiteren Punktes C so, dass ABCD ein Quadrat ist.

Auch hier wieder

OC = OD + BA

oder?

03.07.2011, 16:26

opi

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Doppelpost!

Jetzt schon die dritte Aufgabe! unglücklich

unglücklich

03.07.2011, 21:19

mYthos

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@Padro

Zu deinen Themen ist zu sagen, dass du dir auch in einem anderen Forum deine Aufgaben bzw. Fragen beantworten lässt.

Du solltest wissen, dass eine gleichzeitige Veröffentlichung ein und desselben Themas in verschiedenen Foren - man nennt es Crossposting - gegen die Netiquette und die Forumsregeln verstößt. Es ist absolut unhöflich gegen die Helfer in beiden Foren und daher unbedingt Abstand davon zu nehmen.

Deine Themen werden daher geschlossen, soweit sich gleichlautende Threads in anderen Foren nachweisen lassen.

mYthos+

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