"komplizierte" JNF berechnen

30.06.2011, 16:11	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
"komplizierte" JNF berechnen Hallo, habe eine Frage zur Berechnung der JNF, irgendwie hilft mir da mein Script nicht weiter Gegeben ist die Matrix $\begin{eqnarray} <br /> A:=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> 8 & 6 & 0 & 0 & 0\\<br /> -12 & -9 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\<br /> 9 & 6 & 0 & -8 & 12\\<br /> 6 & 4 & 0 & -4 & 6\end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \chi_{A}(t)=-(t+1)(t+2)(t-3)t^{2} \end{eqnarray}$ das char. Polynom Jetzt habe ich zu den Eigenwerten die Eigenräume ausgerechnet $\begin{eqnarray} Eig(A,-1)=\langle\left(2,3,0,0,0\right)\rangle<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig(A,-2)=\langle\left(0,0,0,1,2\right)\rangle<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig(A,3)=\langle\left(0,0,1,0,0\right)\rangle<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Eig(A,0)=\langle\left(0,0,0,2,3\right)\rangle<br /> \end{eqnarray}$ Da nun $\begin{eqnarray} \dim Eig(A,0)=1<2=\mu(A,0) \end{eqnarray}$ die Vielfachheit der NST Muss ich nun eine Basis vom Kern von $\begin{eqnarray} A^{2} \end{eqnarray}$ berechnen. Das wäre dann $\begin{eqnarray} \langle\left(6,-8,0,9,6\right)\rangle \end{eqnarray}$ Nur jetzt weis ich nicht wie ich mit den Vektoren weiter machen soll, ich muss ja mit $\begin{eqnarray} \left(0,0,0,2,3\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(6,-8,0,9,6\right) \end{eqnarray}$ noch irgendwie was machen. Nur gibt mir mein Script darüber keine Auskunft. Wir hatten bisher nur so Fälle wo z.B. das char Polynom von der Form $\begin{eqnarray} (t-a)^{5} \end{eqnarray}$ oder so war, aber hier ist das ja ich sag mal “gemischt” EDIT: Der Kern von A^2 ist falsch, der ist < (3,-4,0,0,0) , (0,0,0,3,2) >
30.06.2011, 16:57	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "komplizierte" JNF berechnen Hallo Simon, Eigentlich ist es ganz einfach. Die Eigenwerte -1,-2 und 3 tauchen nur einfach auf; jeder steht dann für ein 1x1-Kästchen. Beim Eigenwert Null ist die algebraische Vielfachheit zwei und somit kommen nur zwei 1x1-Kästchen oder ein 2x2-Kästchen in Frage. Ersteres hieße, dass der zugehörige Eigenraum die Dimension 2 hat, also tritt hier der zweite Fall auf. Die JNF ist damit also gefunden. Für die Jordanbasis nimmst Du die Eigenvektoren und als letzten Vektor einen Vektor $\begin{eqnarray} v_6 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Av_6=v_5 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} v_5 \end{eqnarray}$ der Eigenvektor zur Null ist. Dieses $\begin{eqnarray} v_6 \end{eqnarray}$ wirst Du im Kern von $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ finden. Gruß, Reksilat.
30.06.2011, 17:41	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mein Ziel schaut ja so aus: $\begin{eqnarray} T\cdot A\cdot T^{-1}=J \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} J=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{2}=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> -8 & -6 & 0 & 0 & 0\\<br /> 12 & 9 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 9 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & 16 & -24\\<br /> 0 & 0 & 0 & 8 & -12\end{array}\right) \end{eqnarray}$ hat den gleichen Kern wie $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccccc}<br /> -8 & -6 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 9 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 0 & 16 & -24\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} x_{2}=-\frac{8}{6}x_{1}=-\frac{4}{3}x_{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{3}=0<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{4}=\frac{24}{16}x_{5}=\frac{3}{2}x_{5}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ker A^{2}=\langle\left(3,-4,0,0,0\right),\left(0,0,0,3,2\right)\rangle<br /> \end{eqnarray}$ Und dann gilt $\begin{eqnarray} A\cdot\left(\begin{array}{c}<br /> 3\\<br /> -4\\<br /> 0\\<br /> 0\\<br /> 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}<br /> 0\\<br /> 0\\<br /> 0\\<br /> 3\\<br /> 2\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Ich versteh deinen Hinweis nicht so ganz, deine Gleichung ist erfüllt, wenn ich das mit den beiden Basisvektoren vom Kern von A^2 mache. aber nicht mit dem Eigenvektor zum Wert 0. Dann wäre $\begin{eqnarray} <br /> T^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> 2 & 0 & 0 & 0 & 3\\<br /> 3 & 0 & 0 & 0 & -4\\<br /> 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 1 & 0 & 3 & 0\\<br /> 0 & 2 & 0 & 2 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Aber das passt dann nicht, denn dann ist $\begin{eqnarray} <br /> T\cdot A\cdot T^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\<br /> 12 & 6 & 0 & 0 & 1\\<br /> 12 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Stimmt zwar immer noch nicht, aber kommt wenigstens was "annähern" richtiges raus... Hab jetz mehrmals meine Eigenvektoren durchgerechnet und das char. Polynom stimmt auch... Weis grad echt net weiter...
30.06.2011, 17:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, sorry. Ich hätte natürlich erwähnen sollen, dass Dein Eigenvektor zum Eigenwert Null falsch ist. Ich dachte das wäre nur ein Tippfehler, da ja im Kern von $\begin{eqnarray} A^2 \end{eqnarray}$ wieder der richtige auftauchte. $\begin{eqnarray} Eig(A,0)=\langle\left(0,0,0,3,2\right)\rangle \end{eqnarray}$ Bei genauerer Betrachtung sind da auch andere Fehler. Korrekt ist: $\begin{eqnarray} Eig(A,-1)=\langle\left(2,-3,0,0,0\right)\rangle \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Eig(A,-2)=\langle\left(0,0,0,1,2\right)\rangle \end{eqnarray}$ Immerhin der zum Eigenwert 1 stimmt. Damit sollte es klappen.
30.06.2011, 18:06	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich mache schon viel zu lange an der Aufgabe rum, merke ich gerade, bin betriebsblind... hab minusse (Plural von minus? mini?... egal) unterschlagen und sachen vertauscht... Also aufm Papier hab ich sie richtig nur beim Übertragen falsch gemacht. Also schaut es jetzt wie folgt aus $\begin{eqnarray} T^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> 2 & 0 & 0 & 0 & 3\\<br /> -3 & 0 & 0 & 0 & -4\\<br /> 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\<br /> 0 & 1 & 0 & 3 & 0\\<br /> 0 & 2 & 0 & 2 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Aber, jetzt passt es immer noch nicht Habs grad von Maple durchrechnen lassen... $\begin{eqnarray} <br /> T\cdot A\cdot T^{-1}=\left(\begin{array}{ccccc}<br /> -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & -2 & 0 & 0 & 0\\<br /> 0 & 0 & 3 & 0 & 0\\<br /> 0 & 6 & 0 & 0 & 1\\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Ich raffs net. Eigentlich sollte das ne "schöne, nette" rechenaufgabe werden und ich häng schon ewig hier dran und bekomms net hin
30.06.2011, 18:13	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaahhh! Ich hab oben $\begin{eqnarray} Eig(A,-2)=\langle\left(0,0,0,1,2\right)\rangle \end{eqnarray}$ einfach per Copy&Paste von Dir eingefügt und vergessen das zu korrigieren. Es muss $\begin{eqnarray} Eig(A,-2)=\langle\left(0,0,0,2,1\right)\rangle \end{eqnarray}$ heißen. Wahrscheinlich hast Du mich angesteckt.
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30.06.2011, 18:19	Simooon	Auf diesen Beitrag antworten »
Boar ey, was ne schwere Geburt...Danke danke Naja wenigstens habe ich konsequent alle Einträge vertauscht . Nicht dass das jetzt was gutes war. Sollte mir in 2 Wochen bei der Klausur nicht nochmal passieren
30.06.2011, 18:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "komplizierte" JNF berechnen Besorg Dir ein Attest, dass Du eine angeborene Reihenfolge- und Vorzeichenschwäche bei Vektoren hast, dann sollte die Klausur kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! Gruß, Reksilat.

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