Extrema des Sinus |
30.06.2011, 16:51 | 159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Extrema des Sinus Uhm, die Formel zur Berechnung der Extrema des Sinus ist mir bekannt, doch wie kann man diese herleiten. Habe mir gedacht, dass man ja eigentlich sagen kann, zwischen 2 Nullstellen liegt ein Extremum. Aber wie schaut das denn aus, wenn da zB. sin^2(x), sin^3(x), sin^4(x), ... steht. Wie kann man da die Extrema herleiten? Meine Ideen: ... |
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30.06.2011, 17:02 | BobbyJack | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Extrema des Sinus Wie würdest du denn die Extremstellen des Sinus berechnen? |
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30.06.2011, 17:13 | 159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Naja, des Sinus in der Form sin(x) folgender Maßen: Aufgrund der Periodizität würde ich sagen, dass zwischen 2 Nullstellen genau in der Mitte ein Extremum liegt. Deswegen würde das Maximum im Intervall [0;Pi] in x = (1/2)Pi liegen und wegen der Periodizität dies mit k * 2Pi addieren, wobei k Element Z ist. Daraus ergibt sich für das Maximum: x = (pi/2)+2kPi , k Element Z Analog dazu das Minimum: x = (3/2)Pi+2kPi , k Element Z Aber sobald Potenzen mit ins Spiel kommen, scheiter ich. |
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30.06.2011, 17:31 | BobbyJack | Auf diesen Beitrag antworten » |
hast du dir schonmal überlegt, wie z.B. der sin^2 aussieht? Die Extrema vom sin(x) bleiben weiterhin Extrema, da einfach jeder Funktionswert mit sich selber multipliziert wird, und maximaler Wert * maximaler Wert immer größer ist, als kleinerer Wert als der Maximale * kleinerer Wert als der Maximale. Dies gilt sowohl für Maxima als auch Minima, auch wenn hier jetzt (-) * (-) = (+) wird und daher ehemalige Minima zu Maxima werden. => Maxima von sin(x)^2 aus Maxima von sin(x): x = (pi/2) + 2kpi => Maxima von sin(x)^2 aus Minima von sin(x): x = (3pi/2) + 2kpi Da sin(x)^2 nicht negativ werden kann, periodisch ist und diverse Maxima annimmt, müssen wir auch Minima haben, die sich zwischen den Maxima befinden. => Minima x = 0 + kpi man kann den sin(x)^2 übrigens auch als nach oben und zur Seite verschobenen Sinus mit doppelter Frequenz betrachten und dadurch alle Maxima zusammenfassen zu: x= (pi/2) + kpi Analoge Überlegungen kann man auch zu höheren Potenzen anstellen. Leichter wäre die Bestimmung der Extrema allerdings durch Nullstellenberechnung der Ableitung. |
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30.06.2011, 17:42 | 159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Klar habe ich die Graphen der jeweiligen Funktionen gesehen und erkannt, dass sich die Extrema nicht verändern, doch wie kann ich das rechnerisch belegen. Nehmen wir mal sin^2 raus, da dieser sich wieder von höhren Potenzen unterscheidet. Wie könnte ich rechnerisch zeigen, dass sin^4(x) die Extrema in (pi/2) + 2kpi bzw. (3pi/2) + 2kpi annimmt. Vielen Dank schonmal. |
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30.06.2011, 17:52 | BobbyJack | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nun, wirklich rechnerisch hast du den sin(x) ja auch nicht analysiert. Wenn du es wirklich rechnerisch angehen willst brauchst du Differenzialrechnung. Kennst du Ableitungen? |
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30.06.2011, 17:58 | 159 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jo, die Ableitungen kenn ich. Die müssten so lauten: 4*sin^3(x)*cos(x) Das ganze dann 0 setzen, und dann? 0 = 4*sin^3(x)*cos(x) |
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30.06.2011, 18:22 | BobbyJack | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Produkt ist gleich null, wenn entweder sin(x)^3 = 0 oder cos(x) = 0 sin(x)^3 = 0 <=> sin(x)=0 und das ist bei x1=0+k*pi der Fall cos(x)=0 => x2=(pi/2)+k*pi Das sind die Stellen deiner Extrema. Ob Minimum oder Maximum könntest du entweder mit der 2. Ableitung bestimmen, oder du argumentierst: und [edit: Rechtschreibung] |
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