Extrema des Sinus

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159 Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema des Sinus
Meine Frage:
Uhm, die Formel zur Berechnung der Extrema des Sinus ist mir bekannt,
doch wie kann man diese herleiten. Habe mir gedacht, dass man ja eigentlich sagen kann, zwischen 2 Nullstellen liegt ein Extremum.

Aber wie schaut das denn aus, wenn da zB. sin^2(x), sin^3(x), sin^4(x), ... steht. Wie kann man da die Extrema herleiten?

Meine Ideen:
...
BobbyJack Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema des Sinus
Wie würdest du denn die Extremstellen des Sinus berechnen?
159 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, des Sinus in der Form sin(x) folgender Maßen:

Aufgrund der Periodizität würde ich sagen, dass zwischen 2 Nullstellen genau in der Mitte ein Extremum liegt. Deswegen würde das Maximum im Intervall [0;Pi] in
x = (1/2)Pi liegen und wegen der Periodizität dies mit k * 2Pi addieren, wobei k Element Z ist.

Daraus ergibt sich für das Maximum: x = (pi/2)+2kPi , k Element Z
Analog dazu das Minimum: x = (3/2)Pi+2kPi , k Element Z

Aber sobald Potenzen mit ins Spiel kommen, scheiter ich.
BobbyJack Auf diesen Beitrag antworten »

hast du dir schonmal überlegt, wie z.B. der sin^2 aussieht?


Die Extrema vom sin(x) bleiben weiterhin Extrema, da einfach jeder Funktionswert mit sich selber multipliziert wird, und maximaler Wert * maximaler Wert immer größer ist, als kleinerer Wert als der Maximale * kleinerer Wert als der Maximale. Dies gilt sowohl für Maxima als auch Minima, auch wenn hier jetzt (-) * (-) = (+) wird und daher ehemalige Minima zu Maxima werden.

=> Maxima von sin(x)^2 aus Maxima von sin(x):
x = (pi/2) + 2kpi
=> Maxima von sin(x)^2 aus Minima von sin(x):
x = (3pi/2) + 2kpi

Da sin(x)^2 nicht negativ werden kann, periodisch ist und diverse Maxima annimmt, müssen wir auch Minima haben, die sich zwischen den Maxima befinden.

=> Minima
x = 0 + kpi

man kann den sin(x)^2 übrigens auch als nach oben und zur Seite verschobenen Sinus mit doppelter Frequenz betrachten und dadurch alle Maxima zusammenfassen zu:
x= (pi/2) + kpi

Analoge Überlegungen kann man auch zu höheren Potenzen anstellen.

Leichter wäre die Bestimmung der Extrema allerdings durch Nullstellenberechnung der Ableitung.
159 Auf diesen Beitrag antworten »

Klar habe ich die Graphen der jeweiligen Funktionen gesehen und erkannt,
dass sich die Extrema nicht verändern, doch wie kann ich das rechnerisch belegen.
Nehmen wir mal sin^2 raus, da dieser sich wieder von höhren Potenzen unterscheidet.

Wie könnte ich rechnerisch zeigen, dass sin^4(x) die Extrema in (pi/2) + 2kpi bzw. (3pi/2) + 2kpi annimmt.

Vielen Dank schonmal.
BobbyJack Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wirklich rechnerisch hast du den sin(x) ja auch nicht analysiert.

Wenn du es wirklich rechnerisch angehen willst brauchst du Differenzialrechnung.
Kennst du Ableitungen?
 
 
159 Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, die Ableitungen kenn ich.
Die müssten so lauten:

4*sin^3(x)*cos(x)

Das ganze dann 0 setzen, und dann?

0 = 4*sin^3(x)*cos(x)
BobbyJack Auf diesen Beitrag antworten »

Das Produkt ist gleich null, wenn entweder sin(x)^3 = 0 oder cos(x) = 0

sin(x)^3 = 0 <=> sin(x)=0 und das ist bei x1=0+k*pi der Fall

cos(x)=0 => x2=(pi/2)+k*pi

Das sind die Stellen deiner Extrema. Ob Minimum oder Maximum könntest du entweder mit der 2. Ableitung bestimmen, oder du argumentierst:


und


[edit: Rechtschreibung]
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