Ableitung von einer Determinante

25.06.2004, 18:03

navajo

Ableitung von einer Determinante

Hi, ich hab hier ne doofe Aufgabe wo ich keinen Zugang zu finde unglücklich

Man hat ne Matrix A(t) dessen einträge Funktionen a_ij(t) sind, mit a_ij(0)=0 und in Null differenzierbar.

Dann betrachtet man die Funktion
$\begin{align*} f(t)=det\left(A(t)-E_n\right) \end{align*}$

Und dann soll man zeigen dass folgendes gilt:

$\begin{align*} f(0)=(-1)^{n-1}(\sum_{i=1}^n{a'_{ii}(0)}) \end{align*}$
(Originalaufgabe hier: *click*)

Nun ja aber irgendwe komm ich da nich zurande. Ich habs mal versucht die Determinante nach Laplace zu entwickeln, aber da komm ich auf nix.

Wenn ich rückwerts gehe, und das integriere, dann müsste das ja so einfach so aussehen :
$\begin{align*} f(0)=(-1)^{n-1}(\sum_{i=1}^n{a_{ii}(0)}) \end{align*}$
Das könnte ja sogar sein, dass das mit Laplace gemacht wurde und man einfach die Einträge wo Nullen stellen wegfallen lassen hat. Aber die kann man doch nicht einfach in der Ableitung wegfallen lassen, da können die ja auch ungleich Null sein oder nicht? Hmmm nee kann ja eigentlich nicht, ich komm dann jedenfalls auf ein Produkt und nicht auf einer Summe unglücklich

Ans Charakteristische Polynom hab ich auch mal gedacht, aber da fehlt mir das x vor dem E_n ^^.

Naja irgendwie hab ich keine Idee unglücklich

25.06.2004, 19:16

Irrlicht

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Ich finde diese Aufgabe auf dem angegebenen Übungsblatt nicht. Entweder hast du sie falsch abgeschrieben oder das falsche Übungsblatt angegeben... verwirrt

25.06.2004, 19:34

navajo

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Ups tatsächlich, hier der richtige Link:
*click*
Die Nr 4 isses

25.06.2004, 19:52

Irrlicht

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Gut!

Die Leibniz-Formel für die Determinante ist vielleicht vorteilhafter. Dann leiten wir summandenweise ab (Produktregel). Wenn wir dann t = 0 einsetzen, vereinfacht sich der Ausdruck auf die angegebene Form.

ACHTUNG: Ekelhafte Rechnerei... Summe(Summe(Produkt(...))) Augenzwinkern

25.06.2004, 21:10

navajo

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Leipniz-Regel kannte noch garnicht smile

. Naja sowas hab ich dazu gefunden:
$\begin{align*} det(A)=\bigsum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma}\bigprod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)} \end{align*}$

Wenn ich das jetzt Ableite könnte ja sowas rauskommen:

$\begin{align*} det(A(t)-E_n)'=\bigsum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma}\bigsum_{k=1}^n \bigprod_{i=1}^{n}\frac{a_{i,\sigma (i)}a'_{k,\sigma (i)}}{a_{k,\sigma (i)}} \end{align*}$

Hmm ob das wohl richtig ist? Was heisst denn diese Permutation genau? Wenn ich jetzt für t=0 einsetzte, dann sind doch die a_ij mit i ungleich j Null. Wird dadurch nicht das ganze Produkt Null?

Hmm argh klar (Idee Augenzwinkern

) ich hab ja vorne noch meine Permutationssumme, bei der Permutation wo gerade die a_ii rauskommen stehen ja immer -1. Dann kann ich ja eigentlich die erste Summe wegfallen lassen und nur die Permutation wo die ii's rauskommen angucken, weil der rest wird Null:

$\begin{align*} det(A(t)-E_n)'=sgn(\sigma}\bigsum_{k=1}^n \bigprod_{i=1}^{n}\frac{a_{ii}a'_{ki}}{a_{ki}} \end{align*}$

So die a_ii sind ja nun alle -1 also hab ich da stehen:

$\begin{align*} det(A(t)-E_n)'=sgn(\sigma}\bigsum_{k=1}^n (-1)^{n-1}\bigprod_{i=1}^{n}a'_{ki} \end{align*}$

Hmm aber wie bekomm ich nun das Produkt weg? Ich hab mich bestimmt verrechnet und das hätte schon lang weg sein solln smile

. Ich bin mir eh nicht sicher ob ich das mit den Indizes richtig gemacht habe, vor allem bei dem k was ich wegen der Produktregel genommen habe.
Achja und was sgn(sigma)? Naja das Vorzeichen der Permutation, aber wie kriege ich das raus?

25.06.2004, 21:20

Irrlicht

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Zitat:

$\begin{align*} det(A(t)-E_n)'=\bigsum_{\sigma \in S_n}sgn(\sigma}\bigsum_{k=1}^n \bigprod_{i=1}^{n}\frac{a_{i,\sigma (i)}a'_{k,\sigma (i)}}{a_{k,\sigma (i)}} \end{align*}$

Das Kronecker-Delta fehlt mir hier (das kommt wegen dem E_n rein).

Dann solltest du bei der Produktregel nicht die Formel
$\begin{align*} $ \bigprod_{i=1}^n f_i(x) $' = \bigsum_{i=1}^n \frac{\prod_{j=1}^n f_j(x)}{f_i(x)}f_i'(x) \end{align*}$
verwenden, sondern
$\begin{align*} $ \bigprod_{i=1}^n f_i(x) $' = \bigsum_{i=1}^n $ \bigprod_{j=1,j\neq i}^n f_j(x) $f_i'(x) \end{align*}$

25.06.2004, 21:43

navajo

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$\begin{align*} det(A(t)-E_n)'=\bigsum_{\sigma \in S_n}sgn({\sigma})\bigsum_{i=1}^n{\left(\bigprod_{j=1, j\neq i}^n{(a_{j,\sigma(j)}(t)-\delta_{j,\sigma(j)}})\right)(a_{i,\sigma(i)}(t)-\delta_{i,\sigma(i)})' \end{align*}$
So, uff soweit richtig? Ekelhafte Indizes smile

Jetzt setz ich mal für 0 ein:

$\begin{align*} det(A(0)-E_n)'=\bigsum_{\sigma \in S_n}sgn({\sigma})\bigsum_{i=1}^n{\left(\bigprod_{j=1, j\neq i}^n{(a_{j,\sigma(j)}(0)-\delta_{j,\sigma(j)}})\right)(a_{i,\sigma(i)}(0)-\delta_{i,\sigma(i)})' \end{align*}$

$\begin{align*} det(A(0)-E_n)'=\bigsum_{\sigma \in S_n}sgn({\sigma})\bigsum_{i=1}^n{\left(\bigprod_{j=1, j\neq i}^n{(0-\delta_{j,\sigma(j)}})\right)(a_{i,\sigma(i)}(0)-\delta_{i,\sigma(i)})' \end{align*}$

Weil das Produkt für $\begin{align*} j\neq i \end{align*}$ Null ist, kann man alle Permutationen wegfallen lassen ausser der wo $\begin{align*} \sigma (j)=j \end{align*}$ , da ist dann $\begin{align*} \delta_{jj}=1 \end{align*}$ :

$\begin{align*} det(A(0)-E_n)'=\bigsum_{i=1}^n{\left(\bigprod_{j=1, j\neq i}^n{(-1})\right)(a_{i,i)}(0)-1)' \end{align*}$

$\begin{align*} det(A(0)-E_n)'=\bigsum_{i=1}^n{\left((-1)^{(n-1)}\right)(a_{i,i}(0)-1)' \end{align*}$

So jetzt das (-1)^(n-1) aus der Summe ziehen:

$\begin{align*} det(A(0)-E_n)'=(-1)^{(n-1)}\bigsum_{i=1}^n(a_{i,i}(0)-1)' \end{align*}$

Die -1 fällt beim ableiten weg:

$\begin{align*} det(A(0)-E_n)'=(-1)^{(n-1)}\bigsum_{i=1}^n{ a'_{i,i}(0)} \end{align*}$

So Puh *hechel* smile

25.06.2004, 22:14

SirJective

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Zitat:

Original von navajo
[...]
Weil das Produkt für $\begin{align*} j\neq i \end{align*}$ Null ist, kann man alle Permutationen wegfallen lassen ausser der wo $\begin{align*} \sigma (j)=j \end{align*}$ ,
[...]

Alles richtig, bis auf einen kleinen Schreibfehler: Weil das Produkt Null ist, sobald ein Faktor j mit $\begin{align*} j\neq \sigma(j) \end{align*}$ enthalten ist, ...

Bravo! 8)

25.06.2004, 22:47

navajo

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juhu, cool danke smile

@ Irrlicht

EDIT:

Heute war Tutorium: mit der Produktregel für Mutlilinearformen wärs einfacher gegangen smile

(Die hatte ich wohl irgentwie übersehen *g*)

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