Frage zu Wurzeln bzw Potenzen

16.12.2006, 01:48	DRN0160	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zu Wurzeln bzw Potenzen Weiß jetzt nich ob das für meine Frage der richtige Forenteil is, aber ich probier es ma hier. Ich hab eine Frage bzw Überlegung: Warum kann ich einerseits generell keine Wurzeln aus negativen Zahlen bilden, jedoch die: $\begin{eqnarray} \sqrt[0.5]{-2} \end{eqnarray}$ bilden? Also im Endeffekt kann man das ja in: $\begin{eqnarray} (-2)^{2} \end{eqnarray}$ umschreiben...also rein vom Rechnerischen ist es mir klar, aber wieso ist das so? Aus dem selben Grund kann ich wahrscheinlich auch nich: $\begin{eqnarray} (-2)^{e} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (-2)^{pi} \end{eqnarray}$ rechnen Achja das ganze bezieht sich auf die reelen Zahlen...im komplexen gehts ja.
16.12.2006, 09:45	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell muss bei Potenzen mit reellen Exponenten die Basis a definitionsgemäß positiv sein, soll die Potenz selbst auch reell sein. $\begin{eqnarray} a > 0, n \in \mathbb R \ \rightarrow a^n \in \mathbb R+ \end{eqnarray}$ Eine Ausnahme davon besteht in Fällen, die auf Potenzen mit ganzzahligem Exponent zurückgeführt werden können. In diesen wird eine anfangs negative Basis aber ebenfalls durch eine positive ersetzt: $\begin{eqnarray} a > 0, n \in \mathbb Z \ \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-a)^{2n} = a^{2n} \ und \ (-a)^{2n - 1} = -a^{2n - 1} \end{eqnarray}$ mY+
16.12.2006, 10:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Meiner Ansicht nach sollte der Wurzelexponent immer eine ganze Zahl $\begin{eqnarray} \geq 2 \ (1) \end{eqnarray}$ sein. Ich weiß natürlich, was du mit $\begin{eqnarray} \sqrt[0{,}5]{-2} \end{eqnarray}$ willst. Du denkst formal und hast das Gesetz $\begin{eqnarray} a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ vor Augen, in dem du für $\begin{eqnarray} n=0{,}5 \end{eqnarray}$ setzt. Aber es hat schon einen Grund, warum man hier $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und nicht etwa $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ oder ähnlich schreibt. Das soll nämlich suggerieren, daß der Wurzelexponent positiv ganzzahlig sein soll. Die Genese des Potenzbegriffs ist eine komplizierte Angelegenheit und führt, was den Zulässigkeitsbereich im Exponenten angeht, über den Aufbau des Zahlsystems: $\begin{eqnarray} \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Und je mehr man hier zuläßt, desto größere Einschränkungen an die Basis muß man vornehmen. Zunächst einmal ist klar, daß für ganzzahliges $\begin{eqnarray} n \geq 2 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \end{eqnarray}$ wo rechts genau $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Faktoren $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ stehen. $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ kann dabei eine beliebige reelle Zahl sein. Steigt der Exponent um 1 an, so gibt es rechts einen Faktor mehr. Fällt der Exponent dagegen um 1, so gibt es rechts einen Faktor weniger, was einer Division des alten Werte durch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gleichkommt. Es ist daher konsequent, zusätzlich $\begin{eqnarray} a^1 = a \, , \ \ a^0 = 1 \end{eqnarray}$ festzulegen. Aber jetzt macht der Fall $\begin{eqnarray} a = 0 \end{eqnarray}$ auf einmal Sorgen. Sicher: Denkt man sich $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ als immer kleiner werdende positive Zahl, so erscheint es konsequent, $\begin{eqnarray} 0^0 = 1 \end{eqnarray}$ zu definieren: $\begin{eqnarray} 2^0 = 1 \, \rightarrow \ 0{,}7^0 = 1 \, \rightarrow \ 0{,}031^0 = 1 \, \rightarrow \ 0{,}00048^0 = 1 \, \rightarrow \ldots \rightarrow 0^0 = 1 \end{eqnarray}$ Dagegen würde die Definition von $\begin{eqnarray} 0^0 \end{eqnarray}$ als 1 bei der folgenden Zahlenreihe stören: $\begin{eqnarray} 0^4 = 0 \, \rightarrow \ 0^3 = 0 \, \rightarrow \ 0^2 = 0 \, \rightarrow 0^1 = 0 \, \rightarrow 0^0 = 1 \ \ \text{Aua!} \end{eqnarray}$ Das ist wohl der Grund, warum in der Algebra $\begin{eqnarray} 0^0 \end{eqnarray}$ undefiniert bleibt, auch wenn es in der Analysis in vielen Fällen (etwa im Rahmen der Potenzfunktion $\begin{eqnarray} x \mapsto x^0 \end{eqnarray}$ ) durchaus sinnvoll ist, $\begin{eqnarray} 0^0 = 1 \end{eqnarray}$ zu interpretieren (stetige Ergänzung), was man dann auch stillschweigend tut. Setzt man die Regel "Exponent um 1 kleiner entspricht Division durch $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ " konsequent fort, wird man auf $\begin{eqnarray} a^{-1} = \frac{1}{a} \, , \ \ a^{-2} = \frac{1}{a \cdot a} \, , \ \ a^{-3} = \frac{1}{a \cdot a \cdot a} \, , \ \ldots \end{eqnarray}$ geführt und hat jetzt die Potenz für beliebige ganzzahlige Exponenten definiert. Da man durch 0 aber nicht dividieren kann, muß man bereits hier Einschränkungen bezüglich der Basis vornehmen. Sobald nämlich der ganzzahlige Exponent $\begin{eqnarray} n \leq 0 \end{eqnarray}$ ist, muß man $\begin{eqnarray} a \neq 0 \end{eqnarray}$ fordern. Man kann jetzt die 5 Potenzgesetze beweisen und die Potenzfunktionen $\begin{eqnarray} x \mapsto x^n \end{eqnarray}$ betrachten. Bei positivem ganzzahligem Exponenten sind diese Potenzfunktionen für alle reellen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ definiert. Sie sind für $\begin{eqnarray} x \geq 0 \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend und im Sinne der Analysis stetig. Man kann daher umkehren und $\begin{eqnarray} x = \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ als diejenige nichtnegative Zahl definieren, für die $\begin{eqnarray} x^n = a \end{eqnarray}$ ist. Und jetzt kommt eine weitere Komplikation hinzu. Wenn $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade ist, kann man das sogar für negative reelle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ machen, denn die Potenzfunktionen $\begin{eqnarray} x \mapsto x^n \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade) sind über ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{-8} = -2 \, , \ \ \sqrt[5]{-996} = -3{,}97788 \ldots \end{eqnarray}$ Für gerade Wurzelexponenten ist das dagegen sinnlos. Nachdem nun der Wurzelbegriff geklärt ist, kann man jetzt $\begin{eqnarray} a^{\frac{m}{n}} = \left( \sqrt[n]{a} \right)^m \end{eqnarray}$ definieren, wo $\begin{eqnarray} m,n \end{eqnarray}$ ganze Zahlen sind und $\begin{eqnarray} n>0 \end{eqnarray}$ ist. Jetzt wird es aber erst richtig kompliziert, denn jetzt muß man sich überlegen, inwieweit dies alles wohldefiniert ist. Denn die Definition rechts hängt ja ab von der speziellen Darstellung des Bruches im Exponenten links. Genauere Untersuchungen zeigen, daß nur, wenn man $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ voraussetzt, Wohldefiniertheit vorliegt. Und durch stetigen Übergang kann man auch $\begin{eqnarray} a^x \end{eqnarray}$ für beliebiges reelles $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ definieren, falls $\begin{eqnarray} a>0 \end{eqnarray}$ ist. Um das alles zu erklären, bräuchte man noch viel mehr Platz und Zeit. Was ich jedenfalls hier vermitteln wollte: Die Potenz mit gebrochenem oder irrationalem Exponenten wird erklärt mit Hilfe des Wurzelbegriffes und nicht der Wurzelbegriff mit Hilfe des Potenzbegriffs.
16.12.2006, 14:35	DRNX0160	Auf diesen Beitrag antworten »
wunderbar...danke für die ausführlichen antworten. noch eine frage: das ganze impliziert doch auch das ich exponenten bei potenzen die aus brüchen bestehen nicht beliebig erweitern kann, oder? weil ansonsten könnt ich aus: wurzel aus (-2) auch (-)2^(1/2) bzw dann ja (-2)^(2/4) also 4te Wurzel aus (-2)^2 machen.
16.12.2006, 14:37	DRNX0160	Auf diesen Beitrag antworten »
uups hab da die klammer falsch gesetzt, muss natürlich statt (-)2, (-2) heissen.
16.12.2006, 16:37	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das darfst du tatsächlich nicht, denn a priori ist $\begin{eqnarray} (-2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-2} = i \sqrt{2} \end{eqnarray}$ .. komplex Das (künstliche) Erweitern des gebrochenen Exponenten mit 2 bewirkt nach den Potenzgesetzen das Quadrieren der zuvor negativen Basis, die jetzt postitiv wird und schwupps, ist die Potenz nicht mehr imaginär, sondern reell. Das ist eben die Problematik: Potenzgesetze versus Wurzelgesetze So kann man übrigens auch "beweisen", dass $\begin{eqnarray} i = \pm 1 \end{eqnarray}$ , also reell ist $\begin{eqnarray} i = \sqrt{-1} \rightarrow i^2 = \sqrt{(-1) \cdot (-1)} = \sqrt{1} = 1 \rightarrow i = 1 \ oder \ i = -1 \end{eqnarray}$ Nett, nicht wahr? mY+
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