schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)

30.06.2011, 19:17

Heike

schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)

Meine Frage:
Hallo zusammen,

$\begin{eqnarray*} A \in \mathbb(C)^{nxn} \end{eqnarray*}$ schiefhermitesch. Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} I+A \end{eqnarray*}$ invertierbar ist und $\begin{eqnarray*} (I-A)(I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$ unitär ist.

(I soll hier die Einheitsmatrix sein.)

Meine Ideen:
Ich denke, dass es reicht, die Inverse zu finden, und dann zu zeigen, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} (I+A)(I+A)^{-1} = I \end{eqnarray*}$
Deshalb habe ich gedacht, dass man die Inverse vielleicht raten kann? Ich hab's z.B. mit $\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} = (I+A^*) \end{eqnarray*}$ ausprobiert, was aber nicht passt... Bin ich auf dem Holzweg, oder könnte man die Inverse "einfach so" sehen? Und falls die Inverse so einfach ist, wie komme ich drauf?

Ach ja, schiefhermitesch heißt, dass $\begin{eqnarray*} A+A^*= 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Außerdem ist A normal, wenn A schiefhermitesch ist, und somit diagonalisierbar; könnte mir das weiterhelfen?

01.07.2011, 11:58

Reksilat

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Hallo Heike,

Nimm doch mal an, dass $\begin{eqnarray*} I+A \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar ist. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (I+A)x=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} Ax=-x \end{eqnarray*}$ .
Nun ist $\begin{eqnarray*} A=-A^\ast \end{eqnarray*}$ und das sollte auch den Hinweis geben, hier ein wenig mit Skalarprodukten herumzurechnen.
Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

01.07.2011, 13:05

Heike

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Hallo Reksilat,

vielen Dank für deine Hilfe!
Leider kann ich noch keine Verbindung zwischen Skalarprodukt und Invertierbarkeit herstellen.
Außerdem "fehlt" mir der zweite Vektor für's Skalarprdukt. Nehme ich einfach zweimal x ? Dann wäre z.B.:
$\begin{eqnarray*} <x,Ax> = <x,-A^*x> \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} x^*Ax = x^*-A^*x=-(Ax)^* \cdot x =(Ax)^* \cdot (-x) \end{eqnarray*}$
Benütze ich jetzt noch, dass A nicht invertierbar ist, gilt:
$\begin{eqnarray*} (Ax)^* \cdot (-x) = (Ax)^* \cdot(Ax) \end{eqnarray*}$
Hilft das weiter? verwirrt

Steh irgendwie glaub auf dem Schlauch...

edit: Mal-Punkte eingefügt

01.07.2011, 13:57

Reksilat

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Die Invertierbarkeit ist doch schon im Beweis drin. Wir nehmen an, dass A-I nicht invertierbar ist und wollen das dann zum Widerspruch führen.

Dein Ansatz ist aber schon mal nicht schlecht.
$\begin{eqnarray*} <x,Ax> = <x,-A^*x> \end{eqnarray*}$
auf der rechten Seite kannst Du ja mal die Eigenschaft der adjungierten Abbildung verwenden, dann ist $\begin{eqnarray*} <x,Ax>=<Ax,-x>=-<Ax,x> \end{eqnarray*}$ .
Nun schau Dir mal die Eigenschaften des Skalarprodukts an. Dann wirst Du sehen, dass $\begin{eqnarray*} <x,Ax> \end{eqnarray*}$ imaginär sein mus.

01.07.2011, 14:31

Heike

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Okay, da kann ich damit argumentieren, dass das Skalarprodukt hermitesch ist:
$\begin{eqnarray*} <x,Ax>=\overline{<Ax,x>}=-<Ax,x> \end{eqnarray*}$
Das hintere Gleichheitszeichen gilt aber nur, wenn $\begin{eqnarray*} <x,Ax> \in i\cdot \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also das Skalarprodukt keinen reellen Anteil hat.
Aber sagt mir das jetzt, dass A invertierbar sein muss? Denn das möchte ich ja rausbekommen..

01.07.2011, 15:04

Reksilat

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)

Zitat:

Original von Heike
Aber sagt mir das jetzt, dass A invertierbar sein muss? Denn das möchte ich ja rausbekommen..

Wieso willst Du zeigen, dass A invertierbar ist?
geschockt

Das ist nicht möglich. A könnte auch die Nullmatrix sein.

Ich bin eigentlich der Meinung, dass ich klar genug geschrieben habe, worauf wir hinauswollen. Ich habe keine Lust mich zu wiederholen. Wenn irgendetwas am bisherigen Vorgehen unklar ist, dann frage bitte. Es ist sinnlos, hier weiter rumzurechnen, wenn Du nicht verstehst, warum wir das machen.

01.07.2011, 15:37

Heike

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Sorry, ich meine natürlich, dass ich die Aussage zu einem Widerspruch bringen will, und somit zeigen will, dass (A+I) (nicht A) invertierbar sein muss. Hammer

Bis jetzt haben wir doch auch noch nicht in der Rechnung benützt, dass (A+I) nicht invertierbar ist, oder? (Vielleicht ist es das, was mich irritiert hat.) Wenn ich das jetzt einsetzte (also Ax=-x), bekomme ich
$\begin{eqnarray*} <x,Ax>= -<x,x> \in i\cdot \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Da aber für Skalarprodukt einer Zahl mit sich selbst gelten muss: $\begin{eqnarray*} <x,x> \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , haben wir die Aussage zu einem Widerspruch gebracht und (A+I) muss invertierbar sein!!
Ich hoffe, das stimmt jetzt!?

01.07.2011, 16:01

Heike

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Beim zweiten Aufgabenteil ist zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} (I-A)(I+A)^{-1} \cdot [(I-A)(I+A)^{-1}]^* =I \end{eqnarray*}$
Da habe ich umgeformt mit ein paar Rechenregeln und $\begin{eqnarray*} A=-A^* \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (I-A)(I+A)^{-1} \cdot [(I-A)(I+A)^{-1}]^* <br /> = (I-A)(I+A)^{-1} \cdot ((I+A)^{-1})^* (I-A)^* <br /> = (I-A)(I+A)^{-1} \cdot ((I+A)^{*})^{-1} (I-A)^* <br /> = (I-A)(I+A)^{-1} \cdot (I^*+A^{*})^{-1} (I^*-A^*)<br /> = (I-A)(I+A)^{-1} \cdot (I -A)^{-1} (I+A) \end{eqnarray*}$
Aber leider komme ich nicht auf die Einheitsmatrix.
Auf jeden Fall möchte ich mich bei Dir für die Hilfe bedanken, und den Ärger entschuldigen smile

01.07.2011, 18:30

Reksilat

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)

Zitat:

Original von Heike
Bis jetzt haben wir doch auch noch nicht in der Rechnung benützt, dass (A+I) nicht invertierbar ist,

Doch, wir haben dadurch das $\begin{eqnarray*} x(\neq 0) \end{eqnarray*}$ im Kern der Abbildung gefunden.
Damit kommen wir dann auf den Widerspruch, den Du gefunden hast.
smile

Beim zweiten Teil kannst Du das Produkt ja mal andersrum ansetzen:
$\begin{eqnarray*} [(I-A)(I+A)^{-1}]^*\cdot (I-A)(I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(I -A)^{-1} (I+A)\cdot (I-A)(I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$

Man sieht leicht, dass $\begin{eqnarray*} I-A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I+A \end{eqnarray*}$ vertauschen.

Gruß,
Reksilat.

01.07.2011, 21:14

Heike

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Juhu, den ersten Teil verstanden!

Beim zweiten Teil hab ich aber leider immernoch Probleme. Was meinst Du mit vertauschen? Meinst Du, dass ich aus
$\begin{eqnarray*} (I-A)(I+A)^{-1} \cdot (I -A)^{-1} (I+A)= (I -A)^{-1} (I+A) \cdot (I-A)(I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$
folgern kann, dass
$\begin{eqnarray*} (I-A)(I+A)= (I+A) (I-A) \end{eqnarray*}$ gilt?
Und wenn ja, wie sieht man das? Ich kann nur immer einzelne $\begin{eqnarray*} (I\pm A) \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite der Gleichung schieben, aber da fällt leider nichts weg..

02.07.2011, 12:40

Reksilat

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Nein, das meint ich nicht. Bei Deinem Weg war doch am Ende das Problem, dass da $\begin{eqnarray*} (I+A)^{-1} \cdot (I -A)^{-1} \end{eqnarray*}$ stand, wo eigentlich $\begin{eqnarray*} (I-A)^{-1} \cdot (I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$ gewünscht war.
Wenn man den Ansatz
$\begin{eqnarray*} (I-A)(I+A)^{-1} \cdot [(I-A)(I+A)^{-1}]^* =... \end{eqnarray*}$
mal umdreht, dann stehen in der Mitte nicht mehr die Inversen.

Und dass dann $\begin{eqnarray*} (I-A)(I+A)= (I+A) (I-A) \end{eqnarray*}$ gilt, sieht man direkt. Einfach mal beide Seiten ausmultiplizieren. Augenzwinkern

02.07.2011, 13:49

Heike

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RE: schiefhermitesche Matrix (Invertierbarkeit)
Jetzt hab ich's kapiert!
Ich nehm
$\begin{eqnarray*} [(I-A)(I+A)^{-1}]^* \cdot (I-A)(I+A)^{-1} \end{eqnarray*}$
Dann hab ich $\begin{eqnarray*} (I+A) (I-A) \end{eqnarray*}$ in der Mitte, das kann ich umdrehen, und schon steht die Einheitsmatrix da!
Vielen, vielen Dank für Deine Hilfe! smile

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