Integral berechnen

30.06.2011, 21:55

Roonex

Integral berechnen

Uneigentliches Integral zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{sin(x)} \, dx \end{eqnarray*}$ mit Substitution $\begin{eqnarray*} z = tan(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$

Bei mir steht dann nach Anwendung der Substitutionsregel das hier:

$\begin{eqnarray*} \int_\pi^\pi \! \frac{1}{sin(tan(\frac{x}{2})) \cdot 2\cdot cos^{2}(\frac{x}{2} ) } \, dx \end{eqnarray*}$ (das Integral geht natürlich von $\begin{eqnarray*} -\pi \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ , Latex wollte irgendwie nicht^^)

So, aber das macht die Sache doch nicht wirklich einfacher oder (O_o)

Jetzt müsste man mit partieller Integration weitermachen und da würden sehr chaotische Ausdrücke zustande kommen, von denen ich kaum glauben kann das man uns das zumuten würde ^^

Hab ich einen Fehler bei der Substitution gemacht? Oder sehe ich irgendeine tolle Umformung nicht etc. ?

30.06.2011, 22:07

kasi

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substituiere z = tan(x)

und beachte tanx = sinx / cosx

30.06.2011, 22:12

Roonex

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Also ich MUSS mit $\begin{eqnarray*} z = tan(\frac{x}{2} ) \end{eqnarray*}$ substituieren, steht so in der Aufgabe.

Und an $\begin{eqnarray*} tan = sin/cos \end{eqnarray*}$ hab ich auch schon gedacht, aber das $\begin{eqnarray*} \frac{sin}{cos} \end{eqnarray*}$ steht dann immer noch im $\begin{eqnarray*} sin \end{eqnarray*}$ im Nenner und damit kann ich nichts kürzen oder dergleichen.

30.06.2011, 22:30

Shalec

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hm...
vlt hilft das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin(x)}=-\frac{2\sin(x)}{\cos(2x)-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{\cos\left(\frac{\pi}{2} -x\right)}=\frac{-1}{\cos\left(\frac{\pi}{2} +x\right)}\left( =\frac{-1}{\cos(\frac{\pi}{2})\cos(x)-\sin(\frac{\pi}{2})\sin(x)} \right) \end{eqnarray*}$

alternativ

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{\sin(x)}\cdot \frac{\cos(x)}{\cos(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{1}{\cos(x)}=\cot(x)\cdot\frac{1}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

30.06.2011, 22:36

Calvin

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Bei der vorgeschlagenen Substitution fällt mir immer wieder dieser Beitrag von AD ein.

Wenn du wissen willst, warum sich die dort angegebenen Zusammenhänge ergeben, schaue dir diesen Beitrag von Lazarus an.

30.06.2011, 22:41

Shalec

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Eben noch was eingefallen: siehe Quote

Zitat:

Original von Shalec
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{\sin(x)}\cdot \frac{\cos(x)}{\cos(x)}=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\cdot\frac{1}{\cos(x)}=\cot(x)\cdot\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\frac{\sin(x)}{\cos(x)}}\cdot\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\tan(x)}\cdot\frac{1}{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

Nun hilft dir die Substitution und eine Partielle Integration sicher weiter.. smile

dein Ergebnis kannst da verifizieren: http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+1%2Fsin%28x%29+dx

01.07.2011, 15:50

Roonex

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Dankeschön! smile

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