Anfangswertproblem, 1.Ordnung,

01.07.2011, 09:22

hankykroll

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Anfangswertproblem, 1.Ordnung,

Hi, ich habe folgendes Problem, es handelts sich um eine Aufgabe zur Anfangswert bestimmung:
$\begin{eqnarray*} y'(x)=sin(x)*y(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

Was ich dazu sagen kann ist, dass es sich um die erste Ordnung handelt und ich bestimmt mit der Formel $\begin{eqnarray*} g(x)*h(x) \end{eqnarray*}$ arbeiten muss, da die aufgabe seperier bar ist...

kann ich einfach $\begin{eqnarray*} | -y(x) \end{eqnarray*}$ machen
dann habe ich

$\begin{eqnarray*} y'(x)-y(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

und dann $\begin{eqnarray*} g(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$ so dass ich $\begin{eqnarray*} y'(x)-y(x) =0 \end{eqnarray*}$ habe...

dann mache ich

$\begin{eqnarray*} | +y(x) \end{eqnarray*}$ nun ziehe wieder rüber.... $\begin{eqnarray*} y'(x)= y(x) \end{eqnarray*}$

bin ich bis dahin richtig und wie mache ich nun mit der subtitution weiter?

danke schonmal, hanky

01.07.2011, 09:28

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,

Zitat:

Original von hankykroll
kann ich einfach $\begin{eqnarray*} | -y(x) \end{eqnarray*}$ machen
dann habe ich

$\begin{eqnarray*} y'(x)-y(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

Kannst du mir erklären, wie du von $\begin{eqnarray*} y'(x)=sin(x)*y(x) \end{eqnarray*}$ durch Subtraktion von y(x) auf obiges kommen willst?

01.07.2011, 09:35

hankykroll

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
ach du liebe güte, habe ich gar nicht gesehen xD sry...

kann ich dann nicht einfach dividieren, somit $\begin{eqnarray*} y'(x) /y(x) =sin(x) \end{eqnarray*}$ habe und dann wie bei mir weitermachen?

01.07.2011, 09:42

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
Und wie willst du weitermachen?

01.07.2011, 09:52

hankykroll

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
hmm... oder mache ich für $\begin{eqnarray*} y'(x) =sin(x) * y(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dy/dx = sin(x) * y(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | : (sin(x) *y(x)) | *dx \end{eqnarray*}$

mir fehlt komplett der lösungsansatz...

01.07.2011, 09:54

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,

Zitat:

Original von hankykroll
kann ich dann nicht einfach dividieren, somit $\begin{eqnarray*} y'(x) /y(x) =sin(x) \end{eqnarray*}$ habe und dann wie bei mir weitermachen?

Das war doch ok. Ich wollte ja nur wissen, wie es dann weitergeht.
Das Stichwort lautet "Trennung der Variablen".

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01.07.2011, 09:59

hankykroll

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
okay...

kann ich dann $\begin{eqnarray*} g(x)= sin(x)=0 \end{eqnarray*}$
machen?

01.07.2011, 10:02

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
Nein, du sollst einfach die Methode der Trennung der Variablen anwenden.

01.07.2011, 10:09

hankykroll

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
also nach der seite zu folge: http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/diffgl.htm

$\begin{eqnarray*} dy/ dy*y(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$

01.07.2011, 10:13

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
Im Prinzip ja, aber so: $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y(x)} = sin(x) \end{eqnarray*}$

01.07.2011, 10:20

hankykroll

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dann könnte ich bestimmt $\begin{eqnarray*} dy*y(x)+dx*1=sin(x) \end{eqnarray*}$ machen... aber kann ich das dann einfach substituieren?

01.07.2011, 10:22

klarsoweit

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Meine Güte. Das ist doch nicht zu fassen. unglücklich

unglücklich

Du wirst das doch wohl genauso machen können, wie das auf dem Link dargestellt wurde, oder?

01.07.2011, 10:31

hankykroll

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dann mache ich $\begin{eqnarray*} | : 1/y(x) \end{eqnarray*}$

01.07.2011, 10:36

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
Unfug. Also ehrlich gesagt, ich weiß nicht, was du dir denkst.

1. Schritt: Man nehme $\begin{eqnarray*} y'(x)=sin(x)*y(x) \end{eqnarray*}$ , schreibe y'(x) als dy/dx und bringe alles mit y auf die linke Seite. Dadurch kamen wir auf:
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \cdot \frac{1}{y(x)} = sin(x) \end{eqnarray*}$

2. Schritt: Nun bringt man das dx auf die rechte Seite und schreibt Integralzeichen davor.

Eine hohe Kunst in der Mathematik ist es, daß man das, was andere gemacht haben, auf sein eigenes Problem adaptieren kann. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2011, 14:54

hankykroll

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
kann ich von

$\begin{eqnarray*} (dy/dx)*(1/y(x)) =sin(x) \end{eqnarray*}$

einfach auf:

$\begin{eqnarray*} (dy/sin(x))*(1/y(x)) =dx \end{eqnarray*}$

umstellen?

01.07.2011, 15:23

klarsoweit

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RE: Anfangswertproblem, 1.Ordnung,
Warum bringst du jetzt das sin(x) auf die linke Seite? verwirrt

verwirrt

Nochmal zum Mitlesen: alles mit y kommt auf die linke Seite, alles andere auf die rechte Seite.

01.07.2011, 15:27

hankykroll

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aber kann ich denn einfach nur $\begin{eqnarray*} | *dx \end{eqnarray*}$ machen?

also: $\begin{eqnarray*} dy*(1/y(x))=sin(x)*dx \end{eqnarray*}$

machen?

muss ich y und dx immer trennen, damit ich integrieren kann?

01.07.2011, 15:42

klarsoweit

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Richtig. Das sagt ja eben die Methode der Trennung der Variablen.

Jetzt laß noch das x in dem y(x) weg, mache Integralzeichen davor und löse sie.

01.07.2011, 18:40

hankykroll

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ich dachte immer, dass das $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ alleine stehe muss also so:

$\begin{eqnarray*} (dx/y) * (1/sin(x) = dx \end{eqnarray*}$

ich weis leider nicht, wie man hier im forum integralzeichen einbindet...

01.07.2011, 18:58

pablosen

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Zitat:

Original von klarsoweit
Richtig. Das sagt ja eben die Methode der Trennung der Variablen.

Jetzt laß noch das x in dem y(x) weg, mache Integralzeichen davor und löse sie.

Er meint glaubs diesen Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{y} dy=\int sin(x) dx \end{eqnarray*}$

Links nach y, rechts nach x integrieren?

01.07.2011, 19:33

hankykroll

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okay... aber kannst du mir BITTE zeigen, wie ich die aufgabe zu ende bringen, also das anfangswertproblem mit y(0)=1

p.s. wie schreibe ich hier integralzeichen?

01.07.2011, 21:21

pablosen

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Zitat:

Original von hankykroll
okay... aber kannst du mir BITTE zeigen, wie ich die aufgabe zu ende bringen, also das anfangswertproblem mit y(0)=1

p.s. wie schreibe ich hier integralzeichen?

backslash int oder google>"integral latex"

Ich komme mit der Anleitung oben auf:

$\begin{eqnarray*} ln(y)=-cos(x)+C \end{eqnarray*}$

Beide Seiten exponentieren:
$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{-cos(x)+C} \end{eqnarray*}$ wobei C Konstante.

Nun ist
$\begin{eqnarray*} y(0)=1 \end{eqnarray*}$

und das ist nur für
$\begin{eqnarray*} C=1 \end{eqnarray*}$

erfüllt.

Ist die richtige Lösung also:

$\begin{eqnarray*} y(x)=e^{-cos(x)+1} \end{eqnarray*}$

...? Korrekt so? Scheint mit Matlab hinzukommen ...

02.07.2011, 04:07

pablosen

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Kommt diese Lösung so korrekt hin? Tipps?

Zitat:

backslash int oder google>"integral latex"

Mit _ was unten kommt mit ^ was oben ... in umschw. Klammern {} jeweils

Grüsse

02.07.2011, 13:13

hankykroll

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ja, danke, scheint hinzukommen.... mercy

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