Berechnung unter Normalverteilungsannahme

01.07.2011, 10:24

hilfesuchende

Berechnung unter Normalverteilungsannahme

Meine Frage:
Die Zufallsvariable X beschreibt das Jahresgehalt eines Teilnehmers an der diesjährigen Fußball-Europameisterschaft. Die Standardabweichung betrage 100 (in Tausend Euro).

i)Berechnen Sie die Varianz des arithmetischen Mittels einer einfachen Zufallsstichprobe vom Umfang 20.

ii) Berechnen Sie für $\begin{eqnarray*} | X - E\left(X\right) | \leq 100 \end{eqnarray*}$ eine Wahrscheinlichkeitsabschätzung

iii) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit von ii) unter Berücksichtigung der Normalverteilungsannahme

Meine Ideen:
also i)konnte ich noch selbst lösen und habe als Ergebnis 500
ii) habe ich mit der Ungleichung von Tschebyscheff gelöst und errechne 0,95.

bei iii) find ich leider keinen Lösungsansatz.
Für die Normalverteilung brauch ich ja einen Erwartungswert, weiß aber grad gar nicht wie ich den errechnen kann.

01.07.2011, 11:19

René Gruber

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Zitat:

Original von hilfesuchende
Für die Normalverteilung brauch ich ja einen Erwartungswert, weiß aber grad gar nicht wie ich den errechnen kann.

Schau mal genau hin: Den brauchst du nicht.

01.07.2011, 14:01

hilfesuchende

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aber wie komm ich denn dann an die wahrscheinlichkeit? ich seh es gerade echt nicht. probier schon seit 2 stunden rum aber nichts funktioniert. unglücklich

01.07.2011, 14:10

René Gruber

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Ich wiederhole es nochmal, etwas ausführlicher: Zur Berechnung von

$\begin{eqnarray*} P(|X-E(X)| \leq 100) = P(|X-\mu| \leq 100) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ brauchst du den konkreten Wert von $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht, nur den von $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ "kürzt" sich sozusagen raus, wenn man das mal salopp so sagen darf.

Mathematisch gesprochen ist es so, dass aus $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ sofort $\begin{eqnarray*} (X-\mu)\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ folgt, was nun aber hoffentlich an Hinweisen reicht.

01.07.2011, 14:45

hilfesuchende

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ist X ~ N (0, 10) verteilt ?

dann wäre $\begin{eqnarray*} W \left(X\leq 100\right) = F \left(100\right) = Verteilungsfunktion \left(\frac{100 - 0}{10} \right) = Verteilungsfunktion (10) (aus der Tabelle er Standardnormalverteilung) = 1 \end{eqnarray*}$

01.07.2011, 14:47

René Gruber

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Zitat:

Original von hilfesuchende
ist X ~ N (0, 10) verteilt ?

Hattest du nicht in i) die Varianz ausgerechnet? Das gilt nach wie vor auch hier, nur unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass dies die Varianz einer Normalverteilung ist!

01.07.2011, 14:56

hilfesuchende

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also als durchschnittliche Varianz hatte ich 500 errechnet.

demnach wäre die Verteilung x ~ N $\begin{eqnarray*} (0, \sqrt{500} ) \end{eqnarray*}$

wenn ich das dann einsetze erhalte ich Verteilungsfunktion (4,47) = 1 (aus Tabelle der Standardnormalverteilung

01.07.2011, 15:10

René Gruber

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Ja, mag sein, dass die Tabellen nicht so weit gehen bzw. die Komplementärwahrscheinlichkeit hier aussagekräftiger wäre. Der tatsächliche Wert ist

$\begin{eqnarray*} 2\Phi\left(2\sqrt{5}\right)-1 \approx 0.999992256 \end{eqnarray*}$ ,

also ziemlich nahe bei 1.

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