Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

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Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
Meine Frage:
Hallo Leute!

Ich habe ihr eine Aufgabe, mit der ich nicht ganz zurecht komme. Eigentlich habe ich mir zwar alle Sätze dazu angesehen, aber ich weiß nicht, wie ich rangehen soll:
Seien I1 und I2 zwei beschränkte Intervalle aus dem R.
Die Funktion f bildet von I1 nach R ab und g von I2 nach R. (beide Riemann-integrierbar)
Die Bilder von g liegen in I1.

Nun ist zu untersuchen, ob auch eine Riemann-integrierbare Funktion ist.

Meine Ideen:
Ich habe versucht, die Definition der Riemann-Integrierbarkeit einzusetzen, aber irgendwie kommt da nur Käse raus. Es wäre echt lieb, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wo ich ansetzen könnte.

Ich wäre euch sehr dankbar!!

Paradiesvogel!!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Tipp: Such nach einem Gegenbeispiel.

Wink
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion finden?
OK!!

Ich schließe daraus mal, dass ich es im Endeffekt widerlegen muss, also brauche ich jetzt zwei Funktion f und g, die Riemann integrierbar sind (und der ganze zusätzliche Spaß), aber deren Verknüpfung nicht Riemann integrierbar ist.
Dafür gibt es doch aber unendlich viel Möglichkeiten und ich kann doch nicht einfach durchprobieren, wann die Obersumme der Untersumme entspricht.

Gibt es eine Möglichkeit, diese Funktionen einfacher zu finden?

Edit: Wie geht es denn, dass g auf ganz R abbildet, aber die Bilder von g nur im Intervall I1 liegen?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man muss ja nicht alle möglichen Funktionen durchgehen, sondern sich überlegen, woran's denn scheitern könnte.

Mögliche Überlegungen:

Was kennst du für Kriterien für Riemannintegrierbarkeit?
Welche Funktionen fallen dir ein, welche nicht Riemann-integrierbar sind?
Würde die Aussage wahr sein, wenn man f oder g durch eine stetige Funktion ersetzt?

Versuche mit solchen Fragen allmählich ein Bild zu bekommen, wie ein mögliches Paar f, g aussehen müsste. (Das kann natürlich dauern, aber wenn du die Integrationstheorie wirklich verstehen lernen willst, dann gibt's kaum was besseres, weil man dazu wirklich Ahnung haben muss, was da los ist.)

Nachtrag: g bildet nach R ab, von Surjektivität ist nicht die Rede.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch...
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe!!

OK, man woran kann die Riemann-Integrierbarkeit scheitern? Naja, ich kenne nur die Definition über die Gleichheit von Unter- und Obersumme.
Ich kenne eigentlich nur eine Funktion, die beschränkt, aber nicht Riemann-integrierbar ist und das ist die, die 1 ist, wenn eine Zahl zwischen 0 und 1 rational ist und 0, wenn sie "nur" reell ist.
Ich weiß nicht, ob man die irgendwie auseinanderpflücken kann, sodass das klappt.
f und g müssen doch beide stetig sein, oder? Sonst wären sie ja gar nicht integrierbar.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht net...
Ich habe nochmal ein bissche rumprobiert.

Zuerst habe ich gedacht, dass ich als eine Funktion die identische Funktion nehme, aber dann ist die andere ja nicht Riemann-integrierbar, wenn die Verknüpfung nicht riemann-intbar sein soll.

Die Dirichlet Funktion kann man auch nicht sinnvoll auseinander nehmen. Zumindest habe ich keine Idee, wie das klappen könte.

Meine einzige sinnvolle Idee ist folgende: Wenn 1/x riemann integrierbar wäre (wobei ich mir grade nicht sicher bin), dann könnte man die vielleicht irgendwie so bauen, dass man durch 0 teilt und damit eine Unstetigkeit rein bringt. Ich weiß aber nicht, ob das überhaupt geht?

Was meinst du zu dieser Idee?

Edit: Zum Beispiel könnte man für f: 1/x und für g: (x-2)^2 nehmen.
Ginge das?
 
 
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Das geht net...
Zitat:
Original von Paradiesvogel
Ich habe nochmal ein bissche rumprobiert.

Zuerst habe ich gedacht, dass ich als eine Funktion die identische Funktion nehme, aber dann ist die andere ja nicht Riemann-integrierbar, wenn die Verknüpfung nicht riemann-intbar sein soll.

Die Dirichlet Funktion kann man auch nicht sinnvoll auseinander nehmen. Zumindest habe ich keine Idee, wie das klappen könte.


Doch, genau das ist es, du kannst die Dirichlet Funktion als Komposition zweier integrierbarer (aber nicht stetiger) Funktionen schreiben.

Zitat:
Original von Paradiesvogel
Meine einzige sinnvolle Idee ist folgende: Wenn 1/x riemann integrierbar wäre (wobei ich mir grade nicht sicher bin), dann könnte man die vielleicht irgendwie so bauen, dass man durch 0 teilt und damit eine Unstetigkeit rein bringt. Ich weiß aber nicht, ob das überhaupt geht?

Was meinst du zu dieser Idee?

Edit: Zum Beispiel könnte man für f: 1/x und für g: (x-2)^2 nehmen.
Ginge das?



Das klappt nicht, da f und g nach Def. beschränkt sein müssen.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Schade...
Naja, ich dachte, ich definiere die nur zwischen 1 und 3, aber ok. Wenn du meinst, es geht mit der Dirichlet-Funktion einfacher...

Das ist doch die Funktion, die 1 ist, wenn x rational ist und 0, wenn x "nur" reell ist, oder? Wie kann man die also zerlegen? Ich muss doch zu der Verknüpfung f(g(x)) berechnen. Geht das überhaupt, wenn die Funktion so einzeln definiert ist, wie diese?
Gastmathematiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schade...
Die Idee ist, für g eine Funktion zu nehmen, die Ähnlich der Dirichlet Funktion ist, aber noch Intbar, und dann eine Funktion f zu nehmen, die g in Dirichlet Funktion umwandelt
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Dirichletfunktion
g soll eine Funktion sein, die der Dirichlet-Funktion ähnlich ist. Das Problem an der Dirichlet-Funktion ist ja, dass sie in keinem noch so kleinen Intervall intbar ist, weil man neben jeder rationalen Zahl auch gleich eine irrationale Zahl findet.
Kann man die rationalen Zahlen also irgendwie "künstlich" verbreitern, oder so? Zumindest soweit, dass man eine Zerlegung finden könnte, sodass die Funktion intbar wird.
Wäre das ein gangbarer Weg?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh... Die Aufgabe ist schon reichlich schwer. Vor allem ist es schwer Tipps zu geben, welche einem die Pointe nicht versauen.

Das Standardbeispiel, an das Gastmathematiker denkt, kann folgendermassen beschrieben werden:

Suche eine Funktion , welche Riemann-integrierbar ist und für welche gilt:



Und dann nimm .

Dann ist gerade die Dirichletfunktion. Die Schwierigkeit liegt darin, das g zu finden.

Edit: Ein bisschen einfacher wird es wahrscheinlich ein geeignetes g für eine andere Funktion als die Dirichletfunktion zu finden:

Ähnlich wie die Dirichletfunktion ist auch die charakterisitsche Funktion der Menge



der dyadischen Brüche, d.h. die Funktion



nicht Riemannintegrierbar. Versuche vielleicht lieber ein Riemannintegrierbares g mit genau für x ein dyadischer Bruch zu finden (wie oben beschrieben).
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versuche mal...
Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich schon was weiß, aber ich versuche es mal.

Dass das mit der Dirichlet-Funktion nicht einfach ist, habe ich mir schon gedacht. Trotzdem hier meine Überlegungen:
f wird ja erst nach g ausgeführt, also wenn ich f so definiere, wie du es vorgeschlagen hast, muss bei g schon jede irrationale Zahl 0 werden. Sonst wird es ja insgesamt keine Dirichlet-Funktion mehr.
Die anderen Zahlen, also alle rationalen Zahlen, müssen sehr klein sein. Sonst kann ich das ja nicht mehr sinnvoll zerlegen. Das Problem ist aber nach wie vor, dass die rellen Zahlen dicht liegen. Man könnte versuchen, den Funktionswert gaaanz klein zu machen, aber das bringt auch nicht wirklich was.
Ich sehe nach wie vor keine Möglichkeit, die Dirichlet-Funktion so zu zerlegen, dass die Funktionen Riemann intbar sind. Ich muss doch zwangsläufig in irgendeiner der beiden Funktionen R von Q trennen und dadurch werden die meiner Meinung nach immer Riemann intbar. Gibt es da wirklich eine andere Möglichkeit?

Meinst du, dass ich bei der zweiten Funktion für n und k beliebige Werte einsetzen kann? Wenn ich diese fest wähle, sollte die Funktion, aber Riemann intbar sein, weil ich sie in drei Intervalle zerlegen kann, nämlich vor (1) und hinter (2) dem x und direkt darauf. Das würde doch aber dem Problem widersprechen.

Ich bin euch sehr dankbar, dass ihr mir helft und hoffe, dass wir die Aufgabe noch fertig bekommen werden. Danke!!
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Meinst du, dass ich bei der zweiten Funktion für n und k beliebige Werte einsetzen kann? Wenn ich diese fest wähle, sollte die Funktion, aber Riemann intbar sein, weil ich sie in drei Intervalle zerlegen kann, nämlich vor (1) und hinter (2) dem x und direkt darauf. Das würde doch aber dem Problem widersprechen.


? Was ist dir denn an der Menge unklar?

Naja, wie auch immer. Die Funktion auf die ich hinaus wollte mit den dyadischen Brüchen ist



Für die Dirichletfunktion ist es




Beide Funktionen sind Riemannintegrierbar. Den Beweis dieser Tatsache solltest du selber hinkriegen. Am einfachsten geht das mit dem Lebesgue-Kriterium.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Intbarkeit zeigen
Ich habe jetzt mal versucht, die Intbarkeit zu zeigen, aber ich habe es noch nicht ganz verstanden. Die Unterschiede von g zur Dirichlet-Funktion sind zwar offensichtlich, aber nach wie vor kann die doch gar nicht Riemann-intbar sein. Immerhin habe ich doch nach wie vor unendlich viele Sprungstellen. Die Funktion ist nach wie vor bei R\Q 0 und sonst nicht. Die Sprünge sind zwar kleiner, aber ändert sich da wirklich etwas für die Riemann-Intbarkeit? Wenn ja, warum?
Ansonsten könnte ich doch mit den gleichen Gründen argumentieren, warum sie es nicht ist.
Habe ich da irgendwo einen Denkfehler drin?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ansonsten könnte ich doch mit den gleichen Gründen argumentieren, warum sie es nicht ist.
Habe ich da irgendwo einen Denkfehler drin?


Nein, man kann hier eben nicht wie bei der Dirichletfunktion argumentieren. Kannst ja mal versuchen rigoros zu zeigen, dass sie nicht R-intbar sein soll; vielleicht siehst du dann woran es scheitert (damit meine ich, wo deine Argumentation scheitert).
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Versuch
Meine Gedanken waren folgende:
Lebesgue sagt ja, dass eine Funktion Riemann-intbar ist, wenn sie fast überall stetig ist. Da die rellen Zahlen aber dicht liegen und die Funktion bei R\Q in dem Intervall nie 0 wird, ist sie nirgendwo stetig. Die Funktion springt ja nach wie vor, nur nicht mehr so hoch, aber das dürfte ja eigentlich keinen Unterschied machen.
Entschuldige, ich finde da echt keinen Grund, warum sie Riemann-intbar sein sollte.

Wenn ich versuche zu zeigen, dass sie nicht Riemann-intbar ist und das zum Widerspruch führe, muss ich ja zeigen, dass keine endliche Zerlegung existiert, sodass in diesen Intervallen die Obersumme gleich der Untersumme wäre. Ich könnte die Zerlegung zwar so wählen, dass ich alle rationalen Zahlen einzeln betrachte und dann wäre an diesem Stellen Obersumme=Untersumme=1/q und beim Rest immer 0, aber wenn das so ginge, müsste es ja auch bei der Dirichlet Funktion gehen und da geht es ja offensichtlich nicht.

Irgendwo muss da ein Denkfehler sein, aber ich finde ihn nicht...
Wo siehst du da einen Unterschied?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wo siehst du da einen Unterschied?



Zitat:
Die Funktion springt ja nach wie vor, nur nicht mehr so hoch


Wink
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Hm...
Ja, sie springt nicht mehr so hoch, aber sie springt nach wie vor und damit kann sie ja an allen diesen Stellen nicht stetig sein, also praktisch gar nicht.
Sicher kann ich irgendwie versuchen, diesen Abstand einer rationalen Zahl von einer irrationalen Zahl wegzuargumentieren, weil er sehr klein ist, aber er ist doch trotzdem da.
Kann ich den denn einfach ignorieren?
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
...
Die Funktion g ist der Dirichlet-Funktion sehr ähnlich. Die Dirichlet-Funktion springt bei jeder rationalen Zahl von 0 zu 1 und wieder zu 0. Da die rationalen Zahlen dicht in R liegen, ist sie also nirgendwo stetig. Die Funktion g ist an den Stellen der rationalen Zahlen nicht 1, sondern 1/q, wobei q hier der Nenner des Bruches ist, durch welchen sich x an dieser Stelle darstellen lässt. In der Nähe einer irrationalen Zahl findet sich auch immer eine rationale Zahl, da sie ja dicht liegen. Nun findet sich aber auch noch ein Bruch, der näher an der irrationalen Zahl liegt. Bei diesem Bruch sind jedoch p und q größer, denn die 'nächste Zahl' läge auf der "anderen Seite" der irrationalen Zahl. Damit werden die Funktionswerte der rationlen Zahl in der Nähe einer irrationalen Zahl immer kleiner und nähern sich damit beliebig nahe der 0. Somit ist ist die Funktion g an allen irrationalen Stellen stetig und nur an den rationalen Stellen unstetig. Da diese aber nur endlich sind, ist die Funktion nach dem Lebesgue-Kriterium Riemann-integrierbar.

Kann ich so ca. argumentieren?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kann ich so ca. argumentieren?


Physiker mögen das vielleicht so machen...

Handwaving fürs persönliche Verständis und um sich Intuition für eine mathematische Frage zu verschaffen schön und gut, aber das was du da machst hat noch nichts mit Mathematik zu tun.
Streng geführte Beweise in der Mathematik haben ihren Grund, denn der Prüfstein dafür, ob man etwas wirklich verstanden hat oder nicht (bzw. ob man sich in einer Aussage nicht selber täuscht/etwas übersehen hat) liegt im rigorosen Beweis.

Ich würde also mal meinen, dass du für eine Argumentation langsam deine Epsilons und Deltas auspacken solltest (das meine ich vor allem für einen möglichen Lösungsvorschlag, den du einreichen willst).


Im übrigen sieht man das Problem der intuitiven "Physikermethode" schon daran, dass es für dich einen Post vorher noch "klar" war, dass die Funktion - wie auch die Dirichletfunktion - "rumspringt" und folglich nicht integrierbar sein kann.
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
Hm...
Das war ein Versuch, etwas zu zeigen, woran ich noch nicht glaube. Die Funktion springt ja auch nach wie vor und deswegen will ich auch nicht glauben, dass die Riemann-intbar sein soll, aber das hier klang wenigstens ein bisschen sinnvoll...
Stimmt es denn wenigstens im Grunde (also die Grundidee)?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Stimmt es denn wenigstens im Grunde (also die Grundidee)?


Ich kann da ganz ehrlich noch nicht mal eine Grundidee finden... Auf alle Fälle sind beide von mir angegebenen Funktionen stetig an allen Punkten wo sie den Wert 0 annehmen - insbesondere an allen irrationalen Punkten.

Beweise das und du bist fertig nach dem Lebesguekriterium für Riemannintegrierbarkeit.

Wenn du's nicht glaubst, dann versuch es halt zu widerlegen (du wirst daran natürlich scheitern, allerdings begreifst du dann evtl. was der Unterschied ist zu Dirichletfunktion und hast tatsächlich was gelernt).
Paradiesvogel Auf diesen Beitrag antworten »
ok
Du hast recht. Da die Nenner der rationalen Zahlen immer größer werden, wenn sie in Richtung einer irrationalen Zahl kommen, wird der Funktionswert immer kleiner und damit ist die Funktion stetig bis auf die rationalen Punkte und das sind ja nur endlich viele. Tatsache, das geht...

Vielen, vielen Dank für deine Hilfe. Das hätte ich alleine nie geschafft! Danke!!
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