Ring mit Prim als Charakteristik

01.07.2011, 16:12

Kimi_R

Ring mit Prim als Charakteristik

Hallo,

ich hätte mal zu meiner Lineare-Algebra II Vorlesung eine Verständnisfrage, die ich anhand dieser Aufgabe stellen will

$\begin{eqnarray*} Sei \ R \ ein \ kommutativer \ Ring \ der \ Charakteristik \ p, \ wobei \ p \ prim \ sei. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ Zeigen \ Sie, \ dass \ fuer \ alle \ Elemente \ r,s \in R \ gilt: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (r+s)^{p^n} = r^{p^n} + s^{p^n} \end{eqnarray*}$

Wollte das ganze per Induktion zeigen, aber schon beim Induktionsanfang gesehen, dass ich scheinbar einen ganz merkwürdigen Denkfehler drinn habe

$\begin{eqnarray*} IA: \ Sei \ n = 1 \end{eqnarray*}$

Mein Einwand folgt aus der Definition der Charakteristik
$\begin{eqnarray*} (r+s)^{p}=(r+s)^{(1+1+ \ldots +1)} = (r+s)^{0} = 1 \neq 2 = r^{0}+p^{0} = r^{p} + s^{p} \end{eqnarray*}$

Wo liegt hier mein Denkfehler?
Hab danach einfach weiter gerechnet und unter verwendung des binomischen Lehrsatzes

$\begin{eqnarray*} (r+s)^{p} = \sum\limits_{k=0}^{p} \frac{p!}{k!*(p-k)!} * r^{k}*s^{p-k} \end{eqnarray*}$

Nächster Schritt wäre bei mir jetzt, die Summanten für k = 0 und k=p rauszuziehen. Allerdings bereitet mir der Binomialkoeffizient Bauchschmerzen
Theoretisch könnte man ja wieder schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{p!}{k!*(p-k)!} = p*\frac{(p-1)!}{k!*(p-k)!} = 0 * \frac{(p-1)!}{k!*(p-k)!}= 0 \end{eqnarray*}$ ,

was man wohl auch für k zwischen 1 und p-1 gerne machen würde, um auf die Behauptung zu kommen. Wieso gilt es dann aber nicht für k=0 und k=p?

Wie geagt, bin gerade selber etwas über meine Probleme verwundert. Hoffe jemand kann meine Unklarheiten beseitigen

01.07.2011, 16:20

jester.

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RE: Ring mit Prim als Charakteristik

Zitat:

Original von Kimi_R
Mein Einwand folgt aus der Definition der Charakteristik
$\begin{eqnarray*} (r+s)^{p}=(r+s)^{(1+1+ \ldots +1)} = (r+s)^{0} = 1 \neq 2 = r^{0}+p^{0} = r^{p} + s^{p} \end{eqnarray*}$

Da ist schon etwas falsch. Die Charakteristik sagt aus, dass $\begin{eqnarray*} \underbrace{1_R+...+1_R}_{p\text{ mal}}=0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 1_R \end{eqnarray*}$ die Eins des Rings kennzeichnet.
Die Potenz, die du mit dieser Regelung vereinfachst, ist jedoch eine ganze Zahl, die ja bloß angibt, wie oft das Ringelement $\begin{eqnarray*} r+s \end{eqnarray*}$ mit sich selbst multipliziert werden soll.

Zu deiner zweiten Frage: $\begin{eqnarray*} \binom{p}{k}=\frac{p!}{k!(p-k)!} \end{eqnarray*}$ (im Ring $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ aufgefasst). Für $\begin{eqnarray*} k\in\{0,p\} \end{eqnarray*}$ steht dort $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , was sicherlich kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist. In den Fällen $\begin{eqnarray*} 1\leq k \leq p-1 \end{eqnarray*}$ steht dort jedoch ein durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbarer Ausdruck, der in Chrakteristik $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ also verschwindet.

01.07.2011, 16:43

Kimi_R

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RE: Ring mit Prim als Charakteristik
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Hat mir schon mal weiterholfen. 1-2 Fragen hätte ich aber noch

Zitat:

Original von jester.
Da ist schon etwas falsch. Die Charakteristik sagt aus, dass $\begin{eqnarray*} \underbrace{1_R+...+1_R}_{p\text{ mal}}=0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 1_R \end{eqnarray*}$ die Eins des Rings kennzeichnet.
Die Potenz, die du mit dieser Regelung vereinfachst, ist jedoch eine ganze Zahl, die ja bloß angibt, wie oft das Ringelement $\begin{eqnarray*} r+s \end{eqnarray*}$ mit sich selbst multipliziert werden soll.

Ok, das leuchtet ein. Wäre aber nicht theoretisch der Fall möglich, dass $\begin{eqnarray*} 1_R \end{eqnarray*}$ gerade der (ganzen) Zahl 1 entspricht? Für den Fall wäre mein Einwand dann ja noch gültig oder nicht?

Zitat:

Original von jester.
Für $\begin{eqnarray*} k\in\{0,p\} \end{eqnarray*}$ steht dort $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , was sicherlich kein Vielfaches von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist.

Woraus kann man das schließen. Nach Voraussetzung ist p ja prim, was wir so definiert haben:

$\begin{eqnarray*} p|ab \Rightarrow p|a \vee p|b \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} p|x \Rightarrow \exists c \in R: p*c=x \end{eqnarray*}$

Wie man nur anhand dieser Definition auf die von dir genannte (und natürlich geläufige) Behauptung kommt seh ich leider nicht

01.07.2011, 16:52

jester.

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RE: Ring mit Prim als Charakteristik

Zitat:

Original von Kimi_R
Ok, das leuchtet ein. Wäre aber nicht theoretisch der Fall möglich, dass $\begin{eqnarray*} 1_R \end{eqnarray*}$
gerade der (ganzen) Zahl 1 entspricht?

Ja, falls $\begin{eqnarray*} R=\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Nichtsdestoweniger erfüllt der Exponent weiterhin nur eine "zählende" Funktion, indem er angibt, wie oft der fragliche Ausdruck mit sich selbst multipliziert werden soll. Somit gibt man auch für $\begin{eqnarray*} R\neq\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ den Exponenten als ganze Zahl an. Die Charakteristik des Rings hat auf den Exponenten also erstmal keinen Einfluss.

Zitat:

Für den Fall wäre mein Einwand dann ja noch gültig oder nicht?

Nein, siehe oben.

Zitat:

Woraus kann man das schließen. Nach Voraussetzung ist p ja prim, was wir so definiert haben:

$\begin{eqnarray*} p|ab \Rightarrow p|a \vee p|b \end{eqnarray*}$ [...]

Wie man nur anhand dieser Definition auf die von dir genannte (und natürlich geläufige) Behauptung kommt seh ich leider nicht

Du meinst die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} p\nmid 1 \end{eqnarray*}$ ? Überprüfe deine Definition noch einmal genau. In Ringen nennt man üblicherweise Nichteinheiten mit der von dir zitierten Eigenschaft prim.
Im Falle $\begin{eqnarray*} p\mid 1 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ jedoch Einheit.

01.07.2011, 16:54

Kimi_R

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RE: Ring mit Prim als Charakteristik

Zitat:

Original von jester.

Zitat:

Original von Kimi_R
Ok, das leuchtet ein. Wäre aber nicht theoretisch der Fall möglich, dass $\begin{eqnarray*} 1_R \end{eqnarray*}$
gerade der (ganzen) Zahl 1 entspricht?

Zitat:

Für den Fall wäre mein Einwand dann ja noch gültig oder nicht?

Nein, siehe oben.

Zitat:

Damit dürfte fürs erste alles geklärt sein

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